dijkstra其实是bfs?--重新定义dijkstra

news2024/9/23 7:33:56

dijkstra其实是bfs?--重新定义dijkstra

1前言
2最短路径问题
3没有边权的最短路--bfs算法
4边权的加入
5优先队列与dijkstra
6后记

1前言

本文将介绍dijkstra算法全新的理解方式
建议新手对dijkstra有建议了解，强烈推荐这篇文章，无比详细

2最短路径问题

最短路径问题，顾名思义，就是在图上找一条从起点到终点的最短路径
最短路径问题也有不同的分类
我们今天将研究的，是解决单源最短路最常用的算法–dijkstra

3没有边权的最短路–bfs算法

有些最短路问题，所有边都没有边权，可以视为边权为 $1$
这也是最短路最简单的问题，甚至可以称为图的遍历的模板
那么，广度优先搜索bfs算法的原理是什么呢？
将图分层（如图）
（bfs分层图的思想在网络流问题中也有体现，建议阅读）
在这里插入图片描述
每个点的层次用蓝色标注
很容易得 $1 - 7$ 的最短路径长度为 $4$
但是，点 $5$ 也可以由 $4$ 到达，为什么不把它划分到第四层呢
这就要说到bfs中的队列了
众所周知，队列是一种FIFO（first in first out，先进先出）的数据结构
每搜到一个点，就先入队， $2$ 显然比 $4$ 先入队，就要先出队，来更新 $5$ 点
我们关注队列里的元素，它们对应的层次单调不减
我们存储一下入队的顺序，就是图的bfs序
也就是说，优先选取层次小的点来更新，这就是bfs

4边权的加入

我们为这些边增加权值
如下图（边权用蓝色标出）
在这里插入图片描述
我们再用bfs跑一遍， $2$ 点先更新 $5$ 点
标记 $1$ 点到 $5$ 点的最短路径为 $5$
但是此时，我们先走 $4$ ，你就会发现，路径长度仅为 $4$ ，更短了
我们的bfs就这样在带权图里被hack了…

5优先队列与dijkstra

看到这里，想必你也知道了，此时bfs队列里的值不再具有单调性
那怎么办？
还记得优先队列（堆）吗，可以动态维护队列内的最值（堆的原理便不再赘述）
我们把队列换成优先队列不就好了吗
这就是dijkstra，一个优先队列优化的bfs
所有人都告诉你dijkstra用堆是来优化的
可是我认为，有堆的dijkstra才是真正的dijkstra
但是，怎么确定有没有更小的值还没入队呢
这里就要说到dijkstra的精髓了
首先，所有在未来可能入堆的值都由现在的值直接或间接得到
路不可能越走越短，所以在堆的外面没用更小值
但是，我们还要存一下起点到每个点的最短路径，因为可能出现一个点更新多次的情况
这下再用堆，算法就成了…吗？
如果有边的边权是负数呢
显然用不了dijkstra，这就要用spfa
但是一般情况边权是正的，要用dijkstra！会卡spfa！
附代码（c++）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max=1e5+100;
struct node{
    int nxt,v,w;
}a[Max*2];
struct lis{
    int val,id;
};
bool operator<(const lis &u,const lis &v){
    return u.val>v.val;
}
bool vis[Max];
int head[Max*2],cnt;
int dis[Max];
void add(int u,int v,int w){
    a[++cnt]={head[u],v,w};
    head[u]=cnt;
}
void dijkstra(int s,int n){
    priority_queue<lis>q;
    memset(dis,63,sizeof(dis));
    vis[s]=0;
    dis[s]=0;
    q.push({0,s});
    while(!q.empty()){
        int k=q.top().id;
        q.pop();
        if(vis[k])continue;
        vis[k]=1;
        for(int i=head[k];i!=0;i=a[i].nxt){
            int v=a[i].v,w=a[i].w;
            if(dis[v]>dis[k]+w){
                dis[v]=dis[k]+w;
                q.push({dis[v],v});
            }
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    for(int i=0;i<m;i++){
        int x,y,z;
        cin >> x >> y >> z;
        add(x,y,z);
    }
    dijkstra(1,n);
    cout << dis[n]; 
    return 0;
}