高等数学 第八讲 积分学计算

1.不定积分的计算

1.1 基本积分公式

基本中的基本，熟练掌握，肌肉记忆

1.2 不定积分的计算方法

1.2.1 凑微分法

dx配凑成d[]的形式，让整体可以使用基本积分公式

1.2.2 换元法

核心思想:当被积函数不容易积分，但是能够求导，采用换元法这种思想，比如含有根式或反三角函数时，可以通过换元法的思想，将d后面的东西，拿出来一部分到前面来。

1.根式相关:

2️⃣的情况中，可以再变为1之后，令1中x的位置为t，如张宇基础172页例9.15

2.反三角函数相关:
像反三角函数这种的，被积函数中含有a^x,e^x,lnx,arcsinx,arctanx等时，令复杂函数=t

3.倒代换
当被积函数分母的的幂次比分子高两次及以上时，作倒代换，令x=1/t

1.2.3 分布积分法

∫udv比较困难，∫vdu比较简单

∫udv=uv-∫vdu

1.2.4 有理函数的积分计算(待更新)

1.2.5 不定积分的一些计算结论总结

结论1:形如∫e^axsinbxdx或∫e^axcosbxdx

2.定积分的计算

核心必看：

定积分由于有了积分区间，若积分区间是对称的，要考虑奇偶性，根据奇偶性化简被积函数。有些时候，需要我们手动的，制造对称区间，如利用换元法手动制造对称区间。并且定积分根据几何意义，还有简单的计算法。当然周期性也能用上

2.1 牛顿莱布尼茨公式

非常基本的公式

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

2.2 定积分的换元法

与不定积分相比，要把积分上下限也换了

2.3 定积分的分布积分法

跟不定积分类似，这里想补充一点，关于被积函数含有对数/反三角函数，用分部积分时，要将被积函数全部拿到后面凑微分

2.4 积分区间再现公式

积分区间再现公式，适用于抽象的题目，即给出的是f(x)那种形式的，通过奇偶性，周期性等等性质搭配积分区间再现公式做题

设f(x)为连续函数

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(a+b-x\right)dx$$

2.5 定积分计算的一些公式结论

2.2.5 华理士公式

2.2.6 定积分的几何意义相关

如何记忆，公式分为两个，第二个公式，其实能变形成第一个公式，第一个公式上下限是-a到a，第二个积分上下限是0到a，a到2a都是一样，两个加和 0-2a也是就是二倍

2.2.7 关于三角函数的定积分计算结论

题目特征∫0到派，存在三角函数，xf(sinx)

有关三角函数的积分计算题

考虑三角函数基本公式，如倍角公式，化简代求积分

3.反常积分的计算(待更新）