Java-----二叉树

1.树型结构

1.1概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

2.除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

3.树是递归定义的。

注意：树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树型结构

以上三种情况均不属于树：

1.子树是不相交的

2.除根节点外，每个结点有且仅有一个父节点；

3.一棵N个节点的树有N-1条边

1.2概念（重要）

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为2

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为2

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：G、H、K、F节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；上图：B、C、E...等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：G、H互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node ﬁrstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4树的应用

文件系统管理（目录和文件夹）

2.二叉树（重点）

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2的k次方减1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2的（i-1）次方(i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2的k次方减1 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1 4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

● 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

● 若2i+1，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

● 若2i+2，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.3.1练习题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树 B 200

C 198 D 199

知识点：对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

解答：

n2=199，n0=200

答案：B

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n B n+1

C n-1 D n/2

知识点：

左图结点个数为奇数，没有度为1的结点；右图结点个数为偶数，有一个度为1的结点E

对于完全二叉树来说，结点个数为偶数，有一个度为1的结点；结点个数为奇数，没有度为1的节点

解答：

在完全二叉树中，有2n个结点，结点个数为偶数，总结点个数为度为0的结点(叶子结点)个数n0加上度为2的结点个数n2加上度为1的结点个数1

2n=n0+n2+1

又因为n0=n2+1

2n=n0+1+n0-1

所以n0=n

答案：A

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383 B 384

C 385 D 386

解答：

结点个数为奇数个的二叉树

度为1的结点个数为0

又因为叶子结点的个数比度为2的结点个数多1

所以叶子结点个数为767/2+1

答案：B

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（）

A 11 B 10

C 8 D 12

知识点：

1.树的高度也就是树的最大层数；

2.满二叉树是完全二叉树的的特殊情况

3.满二叉树的结点个数：2的n次方减1，n是满二叉树的层数

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整

解答：

2的9次方是512，2的10次方是1024

531比9层的满二叉树大，又比10层的满二叉树小，所以531个结点的完全二叉树是10层

答案：B

2.4二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
 
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent;    // 当前节点的根节点
}

2.5二叉树的基本操作

2.5.1手动创建一棵二叉树（这个二叉树的创建并不是真正创建二叉树的方法）

package Test;

public class BTree {


  public static class BNode{
        char ch;
        BNode left;
        BNode right;

      public BNode(char ch) {
          this.ch = ch;
      }
  }

public void creat(){
      BNode bNode1=new BNode('A');
      BNode bNode2=new BNode('B');
      BNode bNode3=new BNode('C');
      BNode bNode4=new BNode('D');
      BNode bNode5=new BNode('E');
      BNode bNode6=new BNode('F');
      BNode bNode7=new BNode('G');

      bNode1.left=bNode2;
      bNode1.right=bNode3;

      bNode2.left=bNode4;
      bNode2.right=bNode5;

      bNode3.left=bNode6;
      bNode3.right=bNode7;
}
}

2.5.2二叉树的遍历

1.前中后序遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加 1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

2.5.2.1前序遍历：根左右，即先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树

黑色箭头是二叉树，红色箭头是访问的顺序

解释：

从跟结点出发，先访问根节点A，再访问A的左子树，访问左子树的根节点B，继续访问B的左子树D，B的左子树访问完，访问右子树E，访问完访问A的右子树C，访问C的左子树，最后访问C的右子树

所以上述二叉树的前序序列为：ABDECFG

知道二叉树快速写出前序序列

在每个结点的左边画一个圆点，从根结点出发，沿二叉树的边缘将每个圆点连接起来，圆点连接的顺序就是二叉树的前序序列

2.5.2.2中序遍历：左跟右，即先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树

黑色箭头是二叉树，红色箭头是访问顺序

解释：

从根节点出发，先看A的左子树B，再看B的左子树D，D没有子树，访问D，再访问B，再看的右子E树，E没有子树，A的左子树访问完，访问A，再访问A的右子树，C右左子树F，F没有子树，访问F再访问C，再看C的右子树，G没有子树，访问G

所以上述中序序列为：DBEAFCG

知道二叉树快速写出中序序列

在每个结点的下方画一个圆点，从根节点出发，沿二叉树的边缘将圆点连接起来，结点下方的圆点连接顺序就是二叉树的中序序列

2.5.2.3后序遍历：左右跟，即先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

黑色箭头是二叉树，红色箭头是访问顺序

解释：

从根节点出发，先看问左子树，发现B有子树，看B的左子树D，D没有子树访问D，再看B的右子树，E没有子树访问E再访问B，看A的右子树C，C的左子树F，F没有子树访问F，看C的右子树G，G没有子树，访问G，再访问C，最后访问A

所以上述二叉树的后序序列为：DEBFGCA

知道二叉树快速写出后序排序

在每个结点的右边画一个圆点，从根节点出发，沿二叉树边缘将这些圆点连接起来，圆点的连接顺序就是二叉树的后序序列

2.5.2.4递归代码实现二叉树的前中后序遍历

//前序遍历
public void prvorder(BNode node){
      if(node==null){
          return ;
      }
    System.out.println(node.ch+" ");
prvorder(node.left);
prvorder(node.right);
}

//中序遍历
    public void inorder(BNode node){
      if(node==null){
          return ;
      }
      prvorder(node.left);
        System.out.println(node.ch+" ");
        prvorder(node.right);
    }
//后序遍历
    public void afterorder(BNode node){
      if(node==null){
          return ;
      }
      afterorder(node.left);
      afterorder(node.right);
        System.out.println(node.ch+" ");
    }

2.5.3层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

黑色箭头是二叉树，红色箭头是层序遍历的访问顺序

2.5.4通过前中后序序列画出二叉树

知道前序和中序画出二叉树：

例子：

前序：ABDECFG

中序：DBEACFG

方法：将前序作为纵坐标，中序作为横坐标，在坐标上找到对应的字母，最上面的一个字母是根节点，根结点左边最上面的字母是左子树的根节点，右面最上面的字母是右结点，以此类推，画出的就是二叉树

知道后序和中序画出二叉树：

例子：

后序：DGEBFCA

中序：DBEGACF

方法：将后序的逆序作为纵坐标，中序作为横坐标，在坐标上找到对应的字母，最上面的一个字母是根节点，根结点左边最上面的字母是左子树的根节点，右面最上面的字母是右结点，以此类推，画出的就是二叉树

2.5.4二叉树遍历练习题

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()

A: ABDHECFG B: ABCDEFGH

C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

解析：

层序遍历得到如下二叉树：

从而二叉树的前序序列为：ABDHECFG

答案：A

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()

A: E B: F

C: G D: H

解析：先序序列的第一个字母就是二叉树的根节点

答案：A

3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()

A: adbce B: decab

C: debac D: abcde

解析：根据中序序列和后序序列画出二叉树

根据二叉树得到前序序列为：abcde

答案：D

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()

A: FEDCBA B: CBAFED

C: DEFCBA D: ABCDEF

解析：当前序或后序序列某一个和中序序列相同时，另外一个序列是该序列的逆序列

答案：A

2.5.5二叉树的基本操作

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
 
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
 
// 子问题思路-求叶子结点个数
 
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);
 
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
 
// 检测值为value的元素是否存在
Node ﬁnd(Node root, int val);
 
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
 
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);

package BTree;

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

public class BTree {

    public static class Node{
        char ch;
        Node left;
        Node right;

        public Node(char ch) {
            this.ch = ch;
        }
    }

    public Node creat(){
        Node bNode1=new Node('A');
        Node bNode2=new Node('B');
        Node bNode3=new Node('C');
        Node bNode4=new Node('D');
        Node bNode5=new Node('E');
        Node bNode6=new Node('F');
        Node bNode7=new Node('G');

        bNode1.left=bNode2;
        bNode1.right=bNode3;

     //   bNode2.left=bNode4;
        bNode2.right=bNode5;

        bNode3.left=bNode6;
        bNode3.right=bNode7;

        return bNode1;
    }

public static int size=0;


    // 获取树中节点的个数
    int size(Node root){
     if(root==null){
         return 0;
     }
     return size(root.right)+size(root.right)+1;
    }


    void size1(Node root){
        if(root==null){
            return;
        }
        size++;
        size1(root.right);
        size1(root.left);
    }

    // 获取叶子节点的个数
    public static int leafsize=0;
    void  getLeafNodeCount(Node root){
        if (root==null){
            return;
        }
if(root.right==null&&root.left==null){
    leafsize++;
    return;
}
getLeafNodeCount(root.left);
getLeafNodeCount(root.right);
    }

    int getLeafNodeCount1(Node root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left==null&&root.right==null){
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount1(root.right)+getLeafNodeCount1(root.left);
    }


// 子问题思路-求叶子结点个数

    // 获取第K层节点的个数
    int getKLevelNodeCount(Node root,int k){
        if(root==null){
            return 0;
        }
       if(k==1&&root!=null){
           return 1;
       }
       return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

    // 获取二叉树的高度
    int getHeight(Node root){
     if(root==null){
         return 0;
     }

     int left=getHeight(root.left);
     int right=getHeight(root.right);
     return Math.max(left,right)+1;
    }

    // 检测值为value的元素是否存在
    Node find(Node root, char ch){
        if (root==null){
            return null;
        }
       if(root.ch==ch){
           return root;
       }
    Node left=find(root.left, ch);
       if(left!=null){
           return left;
       }


    Node right=find(root.right, ch);
       if(right!=null){
           return right;
       }
        return null;
    }

    //层序遍历
    void levelOrder(Node root){
        Queue<Node>queue=new LinkedList<>();
if(root!=null){
    queue.add(root);
}
while(!queue.isEmpty()){
    for(int i= queue.size();i>0;i--){
        Node tmp=queue.poll();
        System.out.print(tmp.ch+" ");
        if(tmp.left!=null){
            queue.add(tmp.left);
        }
        if(tmp.right!=null){
            queue.add(tmp.right);
        }
    }
}
    }

    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(Node root) {

        if(root==null){
            return true;
        }
        Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
            queue.add(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
Node cur=queue.poll();
if(cur!=null){
    queue.add(cur.left);
    queue.add(cur.right);
}else {
    break;
}
        }
        while (!queue.isEmpty()){
            Node cur=queue.poll();
            if(cur!=null){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}