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递归：

一、汉诺塔问题

1.题目链接：面试题 08.06. 汉诺塔问题

2.题目描述：

3.解法：（递归）

🌵算法思路：

🌵算法流程：

🌵算法代码：

二、合并两个有序链表

1.题目链接：21. 合并两个有序链表

2.题目描述：

3.解法：（递归）

🌵算法思路：

🌵算法代码：

三、反转链表

1.题目链接：206. 反转链表

2.题目描述：

3.解法(递归)：

🌵算法思路：

🌵算法代码：

四、两两交换链表中的结点

1.题目链接：24. 两两交换链表中的节点

2.题目描述：

3.解法（递归）：

🌵算法思路：

🌵算法代码：

五、Pow（x, n）- 快速幂

1.题目链接：50. Pow(x, n)

2.题目描述：

3.解法（递归-快速幂）：

🌵算法思路：

🌵算法代码：

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递归：

在解决⼀个规模为n的问题时，如果满足以下条件，我们可以使用递归来解决：

1. 问题可以被划分为规模更小的子问题，并且这些子问题具有与原问题相同的解决方法。
2. 当我们知道规模更小的子问题（规模为 n - 1）的解时，我们可以直接计算出规模为 n 的问题的解。
3. 存在一种简单情况，或者说当问题的规模足够小时，我们可以直接求解问题。一般的递归求解过程如下：
4. 验证是否满足简单情况。
5. 假设较小规模的问题已经解决，解决当前问题。

---

一、汉诺塔问题

1.题目链接：面试题 08.06. 汉诺塔问题

2.题目描述：

在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。

请编写程序，用栈将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子。

你需要原地修改栈。

示例1:

 输入：A = [2, 1, 0], B = [], C = []
 输出：C = [2, 1, 0]

示例2:

 输入：A = [1, 0], B = [], C = []
 输出：C = [1, 0]

提示:

1. A中盘子的数目不大于14个。

3.解法：（递归）

🌵算法思路：

这是⼀道递归方法的经典题目，我们可以先从最简单的情况考虑：

• 假设 n = 1，只有⼀个盘子，很简单，直接把它从 A 中拿出来，移到 C 上；

• 如果 n = 2 呢？这时候我们就要借助 B 了，因为小盘子必须时刻都在大盘子上面，共需要 3 步（为了方便叙述，记 A 中的盘子从上到下为 1 号，2 号）：

a. 1 号盘子放到 B 上；

b. 2 号盘子放到 C 上；

c. 1 号盘子放到 C 上。

至此，C 中的盘子从上到下为 1 号， 2 号。

• 如果 n > 2 呢？这是我们需要用到 n = 2 时的策略，将 A 上面的两个盘子挪到 B 上，再将最大的盘子挪到 C 上，最后将 B 上的小盘子挪到 C 上就完成了所有步骤。例如 n = 3 时如下图：

因为 A 中最后处理的是最大的盘子，所以在移动过程中不存在大盘子在小盘子上面的情况。 则本题可以被解释为：

1. 对于规模为 n 的问题，我们需要将 A 柱上的 n 个盘子移动到C柱上。

2. 规模为 n 的问题可以被拆分为规模为 n-1 的子问题：

a. 将 A 柱上的上面 n-1 个盘子移动到B柱上。

b. 将 A 柱上的最大盘子移动到 C 柱上，然后将 B 柱上的 n-1 个盘子移动到C柱上。

3. 当问题的规模变为 n=1 时，即只有⼀个盘子时，我们可以直接将其从 A 柱移动到 C 柱。

• 需要注意的是，步骤 2.b 考虑的是总体问题中的子问题b 情况。在处理子问题的子问题b 时，我们应该将 A 柱中的最上面的盘子移动到 C 柱，然后再将 B 柱上的盘子移动到 C 柱。在处理总体问题的子问题b 时，A 柱中的最大盘子仍然是最上面的盘子，因此这种做法是通用的。

🌵算法流程：

递归函数设计：void hanotaa(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, int n)

1. 返回值：无；
2. 参数：三个柱子上的盘子，当前需要处理的盘子个数（当前问题规模）。
3. 函数作用：将 A 中的上面 n 个盘子挪到 C 中。

递归函数流程：

1. 当前问题规模为 n=1 时，直接将 A 中的最上面盘子挪到 C 中并返回；
2. 递归将 A 中最上面的 n-1 个盘子挪到 B 中；
3. 将 A 中最上面的⼀个盘子挪到 C 中；
4. 将 B 中上面 n-1 个盘子挪到 C 中。

🌵算法代码：

class Solution 
{
public:
    void hanota(vector<int>& a, vector<int>& b, vector<int>& c) 
    {
        // 将 a 柱子上的所有盘子借助 b 的帮助转移到 c 柱子上
        dfs(a, b, c, a.size());
    }

    void dfs(vector<int>& a, vector<int>& b, vector<int>& c, int n)
    {
        // 递归出口
        if(n == 1)
        {
            c.push_back(a.back());
            a.pop_back();
            return;
        }

        dfs(a, c, b, n - 1);// 将 a 柱子上的 n-1 个盘子借助 c 柱子转移到 b 柱子上
        c.push_back(a.back());// 将 a 柱子上的最后一个盘子转移到 c 柱子上
        a.pop_back();
        dfs(b, a, c, n - 1);// 将 b 柱子上的 n-1 个盘子借助 a 柱子转移到 c 柱子上
    }
};

二、合并两个有序链表

1.题目链接：21. 合并两个有序链表

2.题目描述：

将两个升序链表合并为一个新的 升序 链表并返回。新链表是通过拼接给定的两个链表的所有节点组成的。 

示例 1：

输入：l1 = [1,2,4], l2 = [1,3,4]
输出：[1,1,2,3,4,4]

示例 2：

输入：l1 = [], l2 = []
输出：[]

示例 3：

输入：l1 = [], l2 = [0]
输出：[0]

3.解法：（递归）

🌵算法思路：

1. 递归函数的含义：交给你两个链表的头结点，你帮我把它们合并起来，并且返回合并后的头结点；
2. 函数体：选择两个头结点中较小的结点作为最终合并后的头结点，然后将剩下的链表交给递归函数去处理；
3. 递归出口：当某⼀个链表为空的时候，返回另外⼀个链表。

🌵算法代码：

class Solution 
{
public:
    ListNode* mergeTwoLists(ListNode* list1, ListNode* list2) 
    {
        if(list1 == nullptr) return list2;
        if(list2 == nullptr) return list1;
        
        if(list1->val <= list2->val)
        {
            list1->next = mergeTwoLists(list1->next, list2);
            return list1;
        }
        else
        {
            list2->next = mergeTwoLists(list1, list2->next);
            return list2;
        }
    }
};

三、反转链表

1.题目链接：206. 反转链表

2.题目描述：

给你单链表的头节点 head ，请你反转链表，并返回反转后的链表。

3.解法(递归)：

🌵算法思路：

1. 递归函数的含义：交给你⼀个链表的头指针，你帮我逆序之后，返回逆序后的头结点；
2. 函数体：先把当前结点之后的链表逆序，逆序完之后，把当前结点添加到逆序后的链表后面即可；
3. 递归出口：当前结点为空或者当前只有⼀个结点的时候，不用逆序，直接返回。

🌵算法代码：

class Solution 
{
public:
    ListNode* reverseList(ListNode* head) 
    {
        if(head == nullptr || head->next == nullptr) return head;

        ListNode* newHead = reverseList(head->next);
        head->next->next = head;
        head->next = nullptr;

        return newHead;
    }
};

四、两两交换链表中的结点

1.题目链接：24. 两两交换链表中的节点

2.题目描述：

给你一个链表，两两交换其中相邻的节点，并返回交换后链表的头节点。你必须在不修改节点内部的值的情况下完成本题（即，只能进行节点交换）。

示例 1：

输入：head = [1,2,3,4]
输出：[2,1,4,3]

示例 2：

输入：head = []
输出：[]

示例 3：

输入：head = [1]
输出：[1]

3.解法（递归）：

🌵算法思路：

1. 递归函数的含义：交给你⼀个链表，将这个链表两两交换⼀下，然后返回交换后的头结点；
2. 函数体：先去处理⼀下第二个结点往后的链表，然后再把当前的两个结点交换⼀下，连接上后面处理后的链表；
3. 递归出口：当前结点为空或者当前只有⼀个结点的时候，不用交换，直接返回。

🌵算法代码：

class Solution 
{
public:
    ListNode* swapPairs(ListNode* head) 
    {
        if(head == nullptr || head->next == nullptr) return head;

        ListNode* tmp = swapPairs(head->next->next);
        auto ret = head->next;
        head->next->next = head;
        head->next = tmp;

        return ret;    

    }
};

五、Pow（x, n）- 快速幂

1.题目链接：50. Pow(x, n)

2.题目描述：

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的整数 n 次幂函数（即，xn ）。

示例 1：

输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000

示例 2：

输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100

示例 3：

输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

提示：

• -100.0 < x < 100.0
• -231 <= n <= 231-1
• n 是一个整数
• 要么 x 不为零，要么 n > 0 。
• -104 <= xn <= 104

3.解法（递归-快速幂）：

🌵算法思路：

1. 递归函数的含义：求出 x 的 n 次方是多少，然后返回；
2. 函数体：先求出 x 的 n / 2 次方是多少，然后根据 n 的奇偶，得出 x 的 n 次方是多少；
3. 递归出口：当 n 为 0 的时候，返回 1 即可。

🌵算法代码：

class Solution 
{
public:
    double myPow(double x, int n) 
    {
       return n < 0 ? 1.0 / pow(x, -(long long)n) : pow(x, n);
    }

    double pow(double x, long long n)
    {
        if(n == 0) return 1.0;

        double tmp = pow(x, n/2);
        return n % 2 == 0 ? tmp * tmp : tmp * tmp * x;
    }
};