概述

之前的两篇文章：信号采样中的频谱混叠现象、频谱混叠的MATLAB仿真与抗混叠滤波器设计 介绍了关于 ADC 采样时，有关奈奎斯特采样定律的基本理论、频谱混叠现象的由来，以及抗混叠滤波器的设计与仿真。但这都是基于过采样的情况，即所有目标信号均位于第一奈奎斯特区内。本文首先回顾奈奎斯特采样定律，而后简要总结奈奎斯特采样定律在欠采样应用中的基本理论，以及在欠采样时抗混叠滤波器设计的基本原则。

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一、奈奎斯特采样定律

奈奎斯特准则要求采样频率至少是信号所含最高频率的两倍，否则信号所承载 的信息将会丢失。如果采样频率小于最大模拟信号频率的两倍，将会出现频谱混叠现象。

下图所示为采样单频正弦波信号时的时域表示。可见，采样频率 fs 并未达到至少 2fa，而仅仅是略大于模拟输入频率 fa，因而违背了奈奎斯特准则，因此，产生了较低频率(fs – fa)的混叠正弦波。

这种情况的对应频域表示如下图所示。现在，采用理想的脉冲采样器以 fs 的频率对频率为 fa 的单频正弦波进行采样(子图A)。另外假定 fs > 2fa，采样器的频域输出显示每数个 fs 附近均会出现原始信号的混叠或镜像，具体位于|± Kfs ± fa|，K = 1, 2, 3, 4, …

奈奎斯特带宽定义为从 DC 到 fs/2 的频谱。 该频谱可细分为无数奈奎斯特区，每个宽度等于 0.5fs，如图所示。在实际操作中，理想采样器可以替换为后接FFT处理器的ADC。FFT处理器仅提供DC到fs/2范围内的输出，即第一奈奎斯特区出现的信号或混叠。

如上图B所示，信号频率仅仅略小于采样频率，即使信号位于第一奈奎斯特区之外，其镜像 (或混叠)fs – fa仍位于该区内。再看图A，很明显，如果任何镜像频率fa处出现干扰信号，那么也将会出现在 fa 处，因而会在第一奈奎斯特区内产生杂散频率成分。

这类似于模拟混频过程，同时意味着需要在采样器(或ADC)之前放置抗混叠滤波器件来消除位于奈奎斯特带宽之外但其混叠成分又位于该范围之内的频率成分。滤波器性能将取决于带外信号与fs/2的接近程度和所需的衰减量。

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二、欠采样

基带采样意味着要采样的信号位于第一奈奎斯特区之内。当理想采样器的输入端没有输入滤波时，任意奈奎斯特区内奈奎斯特带宽之外的任意频率成分(信号或噪声)都将混叠回到第一奈奎斯特区。为此，几乎所有采样ADC应用中都会使用抗混叠滤波器来消除这些干扰信号。

多数应用中，所有目标信号均位于第一奈奎斯特区内，如上图中的A所示。下图A展示了另外一种情况，其中采样信号频带局限于第一奈奎斯特区，而原始频带镜像出现在其它每个奈奎斯特区。

以图B所示的情况为例，其中采样信号频带完全位于第二奈奎斯特区内。对第一奈奎斯特区之外的信号进行采样的过程通常称为“欠采样”或“谐波采样”。 注意，第一奈奎斯特区内的镜像包含原始信号中的所有信息，但其原始位置除外 (频谱内频率成分的顺序是相反的，但这点可轻松地通过重新调整FFT输出的顺序来加以纠正)。

图C显示了限制至第三奈奎斯特区的采样信号。注意，第一奈奎斯特区内的镜像并未频谱反转。实际上，采样信号频率可能位于任意独特的奈奎斯特区内，而第一奈奎斯特区内的镜像仍旧是精确表示(当信号位于编号为偶数的奈奎斯特区时出现的频谱反转除外)。 此时，我们可以将奈奎斯特采样定律表述为：

带宽为BW的信号必须以等于或大于其带宽两倍(2BW)的速率进行采样，方可保留信号中的全部信息。

注意，该处并没有提到采样信号频带相对于采样频率在频谱内的绝对位置。唯一的限制是，采样信号频带必须局限于单个奈奎斯特区，即信号不得重叠任意多个fs/2(实际上，这就是抗混叠滤波器的主要功能)。

在通信应用中，对第一奈奎斯特区以上的信号进行采样等效于模拟解调，因此越来越受欢迎。直接对中频信号进行采样，然后使用数字技术来处理该信号，这种做法已经日渐普遍，从而不再需要中频解调器和滤波器。 不过显然，IF频率越高，对ADC的动态性能要求 就越严格。ADC输入带宽和失真性能必须足以处理IF频率，而不仅仅是基带。这就给仅设计用来处理第一奈奎斯特区内信号的大多数ADC带来了一项难题——适合欠采样应用的ADC必须在高阶奈奎斯特区内保持动态性能不变。

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三、欠采样应用中的抗混叠滤波器

下图显示了以载波频率fc为中心的第二奈奎斯特区内的信号，其中频率下限和上限分别为f1和f2。抗混叠滤波器是一个带通滤波器。 所需动态范围为DR，该范围定义了滤波器阻带衰减。过渡带上限为f2至2fs – f2，而下限则为f1至fs – f1。对于基带采样，通过按比例调高采样频率可以降低对抗混叠滤波器的要求，但还必须改变fc，使其始终是第二奈奎斯特区的中心。

给定载波频率fc及其信号带宽Δf时，可使用两个等式来选择采样频率fs。首先是奈奎斯特准则：

$$f_s＞2\Delta f\text{\hspace{1em}(1)}$$

第二个等式确保fc位于某个奈奎斯特区的中心：

$$f_s=\frac{4f_c}{2NZ-1}\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中，NZ = 1, 2, 3, 4, …，对应于载波及其信号所位于的奈奎斯特区，如下图所示。

一般而言，NZ越大越好，从而允许处理高IF频率。无论NZ选择多少，奈奎斯特准则都要求fs > 2Δf。如果NZ选择为奇数，那么fc及其信号将位于编号为奇数的奈奎斯特区内，而第一奈奎斯特区内的镜像频率不会反转。

举例来说，假定信号以载波频率71 MHz为中心且宽度为4 MHz。因此，最低采样频率要求为8 MSPS。通过将fc = 71 MHz和fs = 8 MSPS代入等式2来求解NZ，可得到NZ = 18.25。不过，NZ必须为整数，因此我们把18.25四舍五入为最接近的整数，即18。再次通过等式2来求解fs，可得到fs = 8.1143 MSPS。因此，最后的值为fs = 8.1143 MSPS、fc = 71 MHz、NZ = 18。

现在假定需要抗混叠滤波器具有更多余量，因此将fs选择为10 MSPS。通过将fc = 71MHz和fs = 10 MSPS代入等式2来求解NZ，可得到NZ = 14.7。我们将14.7四舍五入为最接近的整数，即可得到NZ = 14。再次通过等式2来求解fs，可得到fs = 10.519 MSPS。因此，最后的值为fs = 10.519 MSPS、fc = 71 MHz、NZ = 14。

上述迭代过程也可通过从fs开始并调整载波频率来为NZ产生一个整数。