25考研数据结构复习·7.3树形查找

news2024/11/14 23:37:37

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二叉排序树

平衡二叉树

平衡二叉树的删除

红黑树

红黑树的插入

红黑树的删除


二叉排序树

  1. 二叉排序树的定义
    1. 👩‍💻 左子树结点值 < 根节点值 < 右子树结点值
    2. 默认不允许两个结点的关键字相同
  2. 查找操作
    1. 从根节点开始,目标值更小往左找,目标值更大往右找
  3. 插入操作
    1. 找到应该插入的位置(一定是叶子节点),一定要注意修改其父节点指针
  4. 👩‍💻 删除操作
    1. 被删结点为叶子节点,直接删除
    2. 被删结点只有左或只有右子树,用其字数顶替其位置
    3. 被删结点由左、右子树
      1. 可用其后继节点顶替,再删除后继节点
      2. 或用其前驱节点顶替,再删除前驱节点
      3. 前驱:左子树中最有下的结点
      4. 后继:右子树中最左下的结点
  5. 查找效率分析
    1. 取决于树的高度,最好O(logn),最坏O(n)
    2. 👩‍💻 平均查找长度的计算
      1. 查找成功的情况
      2. 查找失败的情况(需补充失败节点)

平衡二叉树

  1. 定义
    1. 树上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1
    2. 结点的平衡因子 = 左子树高 - 右子树高
  2. 插入操作
    1. 和二叉排序树一样,找合适的位置插入
    2. 新插入的结点可能导致其祖先们平衡因子改变导致失衡
  3. 👩‍💻 调整“不平衡”
    1. 找到最小不平衡子树进行调整,记最小不平衡子树的根为A
    2. LL:在A的左孩子的左子树插入导致A不平衡,将A的左孩子右上旋
    3. RR:在A的右孩子的右子树插入导致A不平衡,将A的右孩子左上旋
    4. LR:在A的左孩子的右子树插入导致A不平衡,将A的左孩子的右孩子,先左上旋再右上旋
    5. RL:在A的右孩子的左子树插入导致A不平衡,将A的右孩子的左孩子,先右上旋再左上旋
  4. 查找效率分析
    1. 👩‍💻 高为h的平衡二叉树最少有几个结点——递推求解

      假设以nh表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数,则有n0=0,n1=1,n2=2,并且有n_h=n_{h-1}+n_{h-2}+1

    2. 平衡二叉树最大深度为O(logn),平均查找长度/查找的时间复杂度为O(logn)

平衡二叉树的删除

具体步骤

  1. 删除结点(方法同“二叉排序树”)
    1. 若删除的结点是叶子,直接删
    2. 若删除的结点只有一个子树,用字数顶替删除位置
    3. 若删除的结点有两棵子树,用前驱(或后继)结点顶替,并转化为对前驱(或后继)结点的删除
  2. 从被删除结点向上回溯,找到最小不平衡子树。找不到就结束。
  3. 找到最小不平衡子树z下,y是结点z的高度最高的孩子节点,x是结点y的高度最高的孩子节点。
  4. 然后对以z为根的子树进行平衡调整(LL/RR/LR/RL)
  5. 如果不平衡向上传到,继续2
    1. 对最小不平衡子树的旋转可能导致树变矮,从而导致上层祖先不平衡(不平衡向上传递)

平衡二叉树删除操作时间复杂度=O(log2n)

红黑树

红黑树和平衡二叉树在查找、插入、删除的时间复杂度都是O(log2n)。但使用场景不同,

平衡二叉树:适用于以查为主、很少插入/删除的场景;

红黑树:适用于频繁插入、删除的场景,实用性更强。

 推荐一个“帮手快乐”网站:Red/Black Tree Visualization (usfca.edu)icon-default.png?t=N7T8https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/RedBlack.html

  1. 红黑树是二叉排序树
  2. 黑高——一个结点的“黑高”从某结点出发(不含该结点)到达任一空姐点的路径上黑节点总数
  3. 定义
    1. 每个结点都是红色,或者是黑色的
    2. 根节点是黑色的
    3. 叶节点(NULL结点、外部结点)均是黑色的
    4. 不存在两个相邻的红节点(即红节点的父节点和孩子节点均是黑色)
    5. 对每个结点,从该节点到任一叶节点的简单路径上,所含黑结点的数目相同
  4. 性质:
    1. 从根节点到叶节点的最长路径不大于最短路径的2倍
    2. 从n个内部结点的红黑树高度h≤2log2(n+1)

红黑树的插入

  1. 先查找,确定插入位置(原理同二叉排序树),插入新结点
  2. 新结点是——染为黑色
  3. 新结点非根——染为红色 (保证对每个结点,从该节点到任一叶节点的简单路径上,所含黑结点的数目相同)
    1. 若插入新结点后依然满足红黑树定义,则插入结束
    2. 若插入新结点后不满足红黑树定义,需要调整(看新结点叔叔的脸色),使其重新满足红黑树定义
      1. 旋转+染色
        1. LL型:右单旋,父换爷+染色
        2. RR型:左单旋,父换爷+染色
        3. LR型:左、右双旋,儿换爷+染色
        4. RL型:右、左双旋,儿换爷+染色
      2. 染色+变新
        1. 叔父爷染色,爷变为新节点

红黑树的删除

  1. 时间复杂度=O(log2n)
  2. 删除结点的处理方式和“二叉排序树的删除”一样
  3. 按2处理后,可能破坏“红黑树特性”,此时需要调整结点颜色、位置,使其再次满足“红黑树特性”

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