可选实验:逻辑回归

在这个不评分的实验中，你会

• 探索sigmoid函数(也称为logistic函数)
• 探索逻辑回归;哪个用到了s型函数

import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from plt_one_addpt_onclick import plt_one_addpt_onclick
from lab_utils_common import draw_vthresh
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

Sigmoid或Logistic函数

正如讲座视频中所讨论的，对于分类任务，我们可以从使用线性回归模型$f_{\mathbf{w}，b}({\mathbf{x}}^{(i)})=\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}^{(i)}+b$开始，来预测给定$x$的$y$。
-然而，我们希望我们的分类模型的预测在0和1之间，因为我们的输出变量$y$是0或1。
-这可以通过使用“sigmoid函数”来完成，该函数将所有输入值映射到0到1之间的值。
我们来实现s型函数，自己看看。

Sigmoid函数的公式

s型函数的公式如下
$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$
在逻辑回归的情况下，z (sigmoid函数的输入)是线性回归模型的输出。

• 单个示例时，“$z$”为标量。
• 在多个示例的情况下，$z$可能是由$m$值组成的向量，每个示例一个。
• sigmoid函数的实现应该涵盖这两种可能的输入格式。让我们在Python中实现它。

NumPy有一个名为exp()的函数，它提供了一种方便的方法来计算输入数组 z 中所有元素的指数($e^z$)。
它还可以使用单个数字作为输入，如下所示。

# Input is an array. 
input_array = np.array([1,2,3])
exp_array = np.exp(input_array)

print("Input to exp:", input_array)
print("Output of exp:", exp_array)

# Input is a single number
input_val = 1  
exp_val = np.exp(input_val)

print("Input to exp:", input_val)
print("Output of exp:", exp_val)

sigmoid函数是用python实现的，如下面的单元格所示。

def sigmoid(z):
    """
    Compute the sigmoid of z

    Args:
        z (ndarray): A scalar, numpy array of any size.

    Returns:
        g (ndarray): sigmoid(z), with the same shape as z
         
    """

    g = 1/(1+np.exp(-z))
   
    return g

让我们看看对于不同的z值这个函数的输出是什么

# Generate an array of evenly spaced values between -10 and 10
z_tmp = np.arange(-10,11)

# Use the function implemented above to get the sigmoid values
y = sigmoid(z_tmp)

# Code for pretty printing the two arrays next to each other
np.set_printoptions(precision=3) 
print("Input (z), Output (sigmoid(z))")
print(np.c_[z_tmp, y])

左列的值为z，右列的值为s型(z)。如您所见，sigmoid的输入值范围从-10到10，输出值范围从0到1。
现在，让我们尝试使用matplotlib库绘制这个函数。

# Plot z vs sigmoid(z)
fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(5,3))
ax.plot(z_tmp, y, c="b")

ax.set_title("Sigmoid function")
ax.set_ylabel('sigmoid(z)')
ax.set_xlabel('z')
draw_vthresh(ax,0)

如你所见，当z趋于负值时，s型函数趋于0，当z趋于正值时，s型函数趋于1。

逻辑回归

逻辑回归模型将s型曲线应用于我们熟悉的线性回归模型，如下图所示:
$$f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})=g(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}^{(i)}+b)\text{\hspace{1em}(2)}$$
$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

让我们将逻辑回归应用到肿瘤分类的分类数据示例中。
首先，加载示例和参数的初始值。

x_train = np.array([0., 1, 2, 3, 4, 5])
y_train = np.array([0,  0, 0, 1, 1, 1])

w_in = np.zeros((1))
b_in = 0

尝试以下步骤:

• 点击“运行逻辑回归”以找到给定训练数据的最佳逻辑回归模型
  • 注意所得模型与数据拟合得很好。
  • 注意，橙色线是’$z$’或$\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}^{(i)}+b$。它与线性回归模型中的直线不匹配。
    通过应用“阈值”进一步改进这些结果。
• 勾选“切换0.5阈值”上的框，以显示如果应用阈值的预测。
  • 这些预测看起来不错。预测与数据相符
  • 现在，在大肿瘤大小范围内(接近10)添加进一步的数据点，并重新运行线性回归。
  • 与线性回归模型不同，该模型持续做出正确的预测

plt.close('all') 
addpt = plt_one_addpt_onclick( x_train,y_train, w_in, b_in, logistic=True)

恭喜

你已经探索了s型函数在逻辑回归中的应用。