目录
一、进制转换
（1）数字进制的4个概念
（2）x进制转换成十进制
（3）十进制转换成x进制（除x取余法）
（4）二进制与八进制的相互转换
（5）二进制与十六进制的相互转换
二、原码、反码、补码
（1）机器数和真值
（2）原码、反码、补码的转换关系
（3）为什么要有反码
（4）为什么要有补码
（5）总结
一、进制转换
（1）数字进制的4个概念
以10进制数“1234”为例。
- 数码：每一位上的数，如例子中的1、2、3、4。
- 位数：数码在这个数中的位置。从右向左以0开始递增1，如例子中的数码4的位数为0、数码3的位数为1、数码2的位数为2、数码1的位数为3。
- 基数：每一位数码能表示的数字个数。如例子为10进制数，一位数码能表示0~9的数字，一共10个数，因此10进制数的基数为10。以此类推，2进制基数为2、8进制基数为8、16进制基数为16。
- 位权：在某一位上的1表示的值，位权 = 基数^位数。如例子中，数码1的位权为10^3、数码2的位权为10^2。
（2）x进制转换成十进制
进制只是一个数的不同表示方法。 x进制的每一位数码值的范围是0~x-1，能表示x个数。因此，2进制数只有数字0和1、8进制数只有数字0~7……，而在16进制数中，为了能在一位上表示两位数10~15，用字母A~F（大小写都可）代替之。
在计算机中，八进制数通常以0开头，十六进制数通常以0x（大小写都可）开头。
x进制数的十进制值 = 每一位的（数码 x 位权）之和。
举例：
① 二进制 1011 = 1 x 2^0 + 1 x 2^1 + 0 x 2^2 + 1 x 2^3 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11。
② 八进制 1507 = 7 x 8^0 + 0 x 8^1 + 5 x 8^2 + 1 x 8^3 = 7 + 0 + 320 + 512 = 839。
③ 十六进制 7E = 14 x 16^0 + 7 x 16^1 = 14 + 112 = 126。
（3）十进制转换成x进制（除x取余法）
对十进制数除x取余（从下到上），直到被除数为0。
例如：
① 十进制11转二进制（除2取余法）：
② 十进制839转八进制（除8取余法）：
③ 十进制126转十六进制（除16取余法）：
（4）二进制与八进制的相互转换
可以用10进制数为中介，2进制（互相转换）10进制（互相转换）8进制，从低到高每3位2进制数对应1位八进制数。
举例：2进制数01’101’011转8进制数
（二进制）011 >> （十进制）3 >> （八进制）3
（二进制）101 >> （十进制）5 >> （八进制）5
（二进制）001 >> （十进制）1 >> （八进制）1
结果：0153
（5）二进制与十六进制的相互转换
可以用10进制数为中介，2进制（互相转换）10进制（互相转换）16进制，从低到高每4位2进制数对应1位八进制数。
举例：2进制数0110’1011转16进制数
（二进制）1011 >> （十进制）11 >> （十六进制）b
（二进制）0110 >> （十进制）6 >> （十六进制）6
结果：0x6b
二、原码、反码、补码
（1）机器数和真值
机器数就是一个数在计算机中的表现形式，这个形式是符号数字化的二进制形式，其最高位是符号位，0表示正数，1表示负数。真值就是一个数真实的值。例如机器数(1)1011，它的真值为-11，而不是27。下面讲的原码、反码、补码都是机器数。
（2）原码、反码、补码的转换关系
正数的三码都是相同的，负数的三码才是不同的，因此之后说的转换讨论的是负数。三码的转换关系用下面的图来表示：
可以看到原码和补码的相互转换都是取反加1。因此，在电路设计时只要设计出取反加1，就能实现原码转补码和补码转原码了。
举一个例子：
真值：-1
原码：1000 0001
反码：1111 1110（原码的数值位取反，符号位不变）
补码：1111 1111（反码的数值位加1，符号位不变）
（3）为什么要有反码
原码是人脑最能理解的机器码，那为什么还要有反码，甚至补码呢？这一切都是为了在计算机中实现更简单高效的运算。
第一：我们希望电路更简单，让CPU的运算器中只有加法器，就能实现加、减两种基础运算。因此，可以将减法运算转换为加法运算，如：2-1 = 2 + (-1)。
第二：计算机不能区分符号和数值，如果想区分会加大电路的复杂性，因此我们需要一个不区分符号和数值，就能将符号位与数值位统一参与运算的编码形式。
再来看看原码是否能正确实现符号位与数值位统一参与运算：
1 + 1 = [0000 0001]原 + [0000 0001]原 = [0000 0010]原 = 2
当操作数都为正数，正确。
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [1000 0010]原 = -2
这个结果显然是不正确的，当有负数参与运算时，原码不能得到正确的结果。
然后再来看看反码：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
-0就是0，结果似乎正确。但毋庸置疑的是，反码能处理有负数的运算，在下面的举例中更能证实这一点，反码计算得到的错误结果与正确结果的比较是非常有规律的。
（4）为什么要有补码
再来看看下面的几个例子：
2-1 = 2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]反 + [1111 1110]反 = [0000 0000]反 = +0，比正确结果1差1。
6-2 = 6+(-2) = [0000 0110]原 + [1000 0010]原 = [0000 0110]反 + [1111 1101]反 = [0000 0011]反 = 3，比正确结果4相差1。
大家可以在试试其它的例子，会发现用反码计算出的结果都会比正确值少1，这是为什么呢？本质原因就是反码的0有-0和+0两种，因此在计算的时候会把0算两次。
比如2+(-1)可以看作给(-1)加个2，那么它每次增加1经历：-1 >> -0 >> +0，最后得到+0；比如6+(-2)可以看作给(-2)加个6，那么它每次增加1经历：-2 >> -1 >> -0 >> +0 >> 1 >> 2 >> 3，最后得到3。
因此，科学家们最终发明了补码，它将-0和+0统一为[0000 0000]补，表示0（解决了反码运算错误的问题）；并将补码中的[1000 0000]补，表示-128，注意-128没有原码和反码，原码和反码比补码少一个数字-128。
（5）总结
数据在计算机中都是以补码形式存放的。原因：
- 实现了将加法和减法统一进行处理。
- 实现了将符号位和数值位统一进行处理。
- 原码和补码的相互转换，原理相同，不需要增加额外的硬件电路。
