C语言中的浮点数存储：深入探讨

news2024/9/20 0:35:44

案例引入

请看下面一段代码并思考结果：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
int main()
{
	int n = 9;
	float* pFloat = (float*)&n;
	printf("n的值为：%d\n", n);
	printf("*pFloat的值为：%f\n", *pFloat);
	*pFloat = 9.0;
	printf("num的值为：%d\n", n);
	printf("*pFloat的值为：%f\n", *pFloat);
	return 0;
}

结果如下：

由此可知，C语言中浮点数的存储方式和整数的存储方式是不同的，下面就让我们详细了解一下。

引言

在C语言中，浮点数用于表示实数，尤其是那些带有小数点的数值。浮点数的存储机制复杂，但它是计算机科学中的重要组成部分。本文将详细介绍C语言中的浮点数在内存中的存储方式，基于IEEE 754标准，并涵盖单精度和双精度浮点数的内部表示。

1. 浮点数的基本概念

浮点数的表示由三个主要部分组成：

符号位（Sign Bit）：表示数值的正负。0表示正数，1表示负数。
指数位（Exponent）：确定浮点数的范围或数量级。通过调整指数，浮点数可以表示非常大或非常小的值。
尾数（Mantissa）：也称为有效数字，表示浮点数的精确值。尾数在计算中决定了浮点数的精度。

2. IEEE 754标准

IEEE 754标准是浮点数存储的国际标准，定义了浮点数的表示和运算规则。

根据国际标准IEEE（电⽓和电⼦⼯程协会） 754，任意⼀个⼆进制浮点数V可以表⽰成下⾯的形式：

$V=(-1)^S*M*2^E$

• (−1)^S 表⽰符号位，当S=0，V为正数；当S=1，V为负数

• M 表⽰有效数字，M是⼤于等于1，⼩于2的

• 2^E 表⽰指数位

浮点数的存储，实际上存储的就是S、M、E相关的值。

根据IEEE 754标准，浮点数分为单精度（32位）和双精度（64位）两种格式。

2.1 单精度浮点数（32位）

单精度浮点数使用32位存储，其中包括：

符号位：1位
指数位：8位
尾数：23位（实际尾数有24位，因为有一个隐含的1位）

单精度浮点数的存储格式如下：

对于32位的浮点数,最⾼的1位存储符号位S,接着的8位存储指数E,剩下的23位存储有效数字M。

存储示例：

假设我们要存储浮点数 -5.75。首先将 -5.75 转换为二进制格式，并按照IEEE 754标准进行编码。

表示步骤：
符号位：-5.75 是负数，所以符号位是 1。
绝对值转换为二进制：5.75 的二进制表示是 101.11。
标准化：将 101.11 转换为标准化形式 1.0111 × 2^2。
阶码：IEEE 754 使用偏移量为 127 的阶码。在这里，实际阶码是 2，所以存储的阶码是 2 + 127 = 129，其二进制形式是 10000001。
尾数：标准化形式的尾数部分是 0111，补充至 23 位得到 01110000000000000000000。

因此，-5.75的32位表示为：
1 10000001 01110000000000000000000

2.2 双精度浮点数（64位）

双精度浮点数使用64位存储，其中包括：

符号位：1位
指数位：11位
尾数：52位（实际尾数有53位，因为有一个隐含的1位）

双精度浮点数的存储格式如下：

对于64位的浮点数,最⾼的1位存储符号位S,接着的11位存储指数E,剩下的52位存储有效数字M 。

存储示例：对于浮点数 -5.75，转换步骤如下：

表示步骤：
符号位：-5.75 是负数，所以符号位是 1。
绝对值转换为二进制：5.75 的二进制表示是 101.11。
标准化：将 101.11 转换为标准化形式 1.0111 × 2^2。
阶码：IEEE 754 使用偏移量为 1023 的阶码。在这里，实际阶码是 2，所以存储的阶码是 2 + 1023 = 1025，其二进制形式是 10000000001。
尾数：标准化形式的尾数部分是 0111，补充至 52 位得到 0111000000000000000000000000000000000000000000000000。
最终，64 位双精度浮点数的表示为：

因此，-5.75的64位表示为：
1 10000000001 0111000000000000000000000000000000000000000000000000

3. 内存中的浮点数存储

浮点数在内存中的实际存储取决于系统的字节序（大端或小端）。例如，在大端系统中，较低位字节存储在较高内存地址。以下是如何查看浮点数在内存中的实际存储示例：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
// 将浮点数以大端格式打印
void print_memory_representation(void* p, size_t size) {
    unsigned char* byte = (unsigned char*)p;

    // 大端打印需要从高位字节开始
    for (size_t i = size; i > 0; i--) {
        printf("%02X ", byte[i - 1]);
    }
    printf("\n");
}
int main() {
    float f = -5.75;
    double d = -5.75;
    printf("Float value: %f\n", f);
    printf("Double value: %lf\n", d);
    printf("Float类型内存表示（大端）:\n");
    print_memory_representation(&f, sizeof(f));
    printf("Double类型内存表示（大端）:\n");
    print_memory_representation(&d, sizeof(d));
    return 0;
}

在此代码中，print_memory_representation 函数将浮点数在内存中的每个字节打印为十六进制格式。运行代码可以观察到浮点数在内存中的具体存储方式。

4. 精度问题与误差

浮点数表示有限精度的实数，可能导致精度问题。例如，0.1 不能精确地用二进制表示，这会在浮点运算中引入微小的误差。因此，比较浮点数时，通常要考虑误差范围，使用一个接近的值进行比较而非直接等于比较。

题⽬解析

下⾯，让我们分析一开始的案例。

先看第1环节，为什么 9 还原成浮点数，就成了 0.000000 ？ 9以整型的形式存储在内存中，得到如下⼆进制序列：

 1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001

⾸先，将 9 的⼆进制序列按照浮点数的形式拆分，得到第⼀位符号位s=0，后⾯8位的指数
E=00000000 ，最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。由于指数E全为0，所以符合E为全0的情况。因此，浮点数V就写成：

V=(-1)^0 × 0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)
显然，V是⼀个很⼩的接近于0的正数，所以⽤⼗进制⼩数表⽰就是0.000000。

再看第2环节，浮点数9.0，为什么整数打印是 1091567616
⾸先，浮点数9.0 等于⼆进制的1001.0，即换算成科学计数法是：1.001×2^3
所以： $9.0 =(-1)^0*(1.001)*2^3$ 那么，第⼀位的符号位S=0，有效数字M等于001后⾯再加20个0，凑满23位，指数E等于3+127=130，即10000010
所以，写成⼆进制形式，应该是S+E+M，即 1 0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000
这个32位的⼆进制数，被当做整数来解析的时候，就是整数在内存中的补码，原码正是
1091567616 。