GeoGebra 支持复数运算和可视化，允许用户在复平面上进行各种操作。用户可以定义复数、进行加减乘除等基本运算，并使用 GeoGebra 的图形工具在复平面上绘制复数的表示，探索复数的几何意义。这使得 GeoGebra 成为学习和研究复数及其应用的有力工具。

几何对象其实还有一些数字、路径没有记录，其实这个已经无关紧要了，毕竟数字和路径都是经常用的，也没必要大费周章的拎出来再唠叨唠叨，今天主要讲一下复数。

一、关于复数

1. 复数的定义

复数是数学中一种扩展的数，用来解决实数不能解决的问题。复数的形式为$a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。

2. 复数的由来

复数的概念起源于对负数平方根的需求。古代数学家发现，一些方程的解需要用到负数的平方根，但实数体系中不存在这样的数。为了解决这些问题，数学家引入了虚数单位$i$。

3. 复数的历史

数的历史可以追溯到16世纪意大利数学家卡尔达诺，他在解决三次方程时首次使用了复数。尽管他称之为“虚数”，但他认识到它们在数学计算中的重要性。之后，数学家如拉斐尔·邦贝利、约翰·沃利斯和莱昂哈德·欧拉进一步发展了复数理论。

4. 复数的作用

复数在许多数学和工程学科中起着重要作用。它们广泛应用于电工程、信号处理、量子物理和控制理论等领域。在数学中，复数用于分析、代数几何和数论，帮助解决许多实际问题和理论问题。

举个例子（如果看不懂，可以直接跳过哈，因为能用到复数的例子经常会比较偏）

一个简单的交流电路，其中包含一个电阻$R$和一个电感$L$串联。假设电源电压为$V$，频率为$\omega$。

（1）电阻的阻抗:$Z_R=R$（纯实数）
（2）电感的阻抗:$Z_L=j\omega L$（纯虚数，其中$j$是虚数单位，$j^2=-1$）

串联电路的总阻抗$Z$可以表示为：$$Z=Z_R+Z_L=R+j\omega L$$
（3）电流计算:
通过欧姆定律，电流$I$可以表示为：$$I=\frac{V}{Z}=\frac{V}{R+j\omega L}$$
（4） 相量表示:
复数的相量形式使得我们可以同时考虑电压和电流的幅值和相位关系，简化了计算。通过相量分析，可以很方便地计算电压和电流的相位差，从而分析电路的行为。

5. 历史上的故事

复数的引入最初遭到了许多数学家的质疑和抵制。例如，笛卡尔认为虚数是“想象中的数”，并不具备实际意义。然而，随着复数在解决实际问题中的应用和理论上的完善，它们逐渐被接受和认可。复数的几何表示法由阿根图提出，进一步使复数的理解变得直观，促进了它们在数学中的普及和应用。

为什么要了解这些理论？因为，复数真的很枯燥，一般用不到。

二、GeoGebra与复数

1. GeoGebra只能模拟复数

对于GeoGebra来说，复数明显有些超纲，所以只能来模拟，但是不是真正意义上的复数（若需要高精度的数据分析，建议使用Matlab进行操作）。

在命令行输入：

z_{1}=3+4 ί

在图像展示区显示的是一个（3,4）点，来模拟复数

2. 复数的加减乘除

假设现在有两个复数：

z_{1}=3+4 ί
z_{2}=1+1 ί

（1）复数的加法

z_{plus}=z_{1}+z_{2}

（2）复数的减法

z_{minus}=z_{1}-z_{2}

（3）复数的乘法

z_{multi}=z_{1} z_{2}

（4）复数的除法

z_{divi}=((z_{1})/(z_{2}))

这个没有什么可以操作的难度，主要是一个理解的难度

3. 复数的使用注意

接下来我们所有的操作都基于这个虚数：

z_{1}=3+4 ί

（1）获取虚数的实部

a=real(z_{1})	// 也可以用x(z_1)

（2）获取虚数的虚部

b=imaginary(z_{1})  // 也可以用y(z_1)

（3）获取虚数的绝对值

c=abs(z_{1})

（4）获取虚数的幅角

ang=arg(z_{1})

这里解释一下什么是幅角

---

虚数的幅角（也称为辐角或相位角）是一个复数在复平面上的极坐标表示中的角度部分。对于一个复数$z=a+bi$（其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位），其幅角$\theta$是复数在复平面上与实轴正方向之间的夹角。

幅角的定义

对于复数$z=a+bi$，幅角$\theta$由以下公式计算：$$\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$$这里$a$是实部，$b$是虚部。注意，这个公式直接计算出的角度在$-\frac{\pi }{2}$到$\frac{\pi }{2}$之间，如果需要完整的四象限表示，需要根据$a$和$b$的符号进行调整。

极坐标表示

复数$z$也可以用极坐标形式表示为：$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$其中$r$是复数的模（即复数到原点的距离），定义为：$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$
幅角的实际计算

通常，计算复数的幅角时，会使用函数 atan2(b, a)，这个函数可以处理所有四个象限的情况，给出正确的角度：$$\theta =\text{atan2}(b,a)$$

假设我们有复数$z=3+4i$：

1. 计算模：$$r=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$$
2. 计算幅角：$\theta =\text{atan2}(4,3)\approx 0.93\text{ 弧度}$因此，复数$3+4i$的幅角约为 0.93 弧度。

幅角是复数在复平面上的一个重要属性，它表示复数与实轴正方向之间的夹角。通过幅角，我们可以更好地理解复数的方向性和在复平面上的位置。

---

三、GeoGebra判断对象是否为复数

GeoGebra没有提供快读的方式识别复数，不过我写了一个按钮脚本，可以快速判断：

function isComplexNumber(objectName) {
    try {
        // 获取对象的值
        var value = ggbApplet.getValue(objectName);

        // 临时计算 sqrt(a) + sqrt(-a)
        var tempCheck = "sqrt(" + value + ") + sqrt(-" + value + ")";
        var tempObjectName = "tempComplexCheck";

        // 计算并隐藏临时对象
        ggbApplet.evalCommand(tempObjectName + " = " + tempCheck);
        ggbApplet.setVisible(tempObjectName, false);

        // 检查复数
        var complexCheck = ggbApplet.evalCommand("IsDefined(" + tempObjectName + ")");
        var isComplex = (value !== 0) && complexCheck; // a ≠ 0 且表达式有效

        // 删除临时对象
        ggbApplet.deleteObject(tempObjectName);

        return isComplex;
    } catch (e) {
        // 捕获任何可能的错误并返回 false
        return false;
    }
}

// 示例使用
var objectName = "A"; // 假设对象名称是 A
var result = isComplexNumber(objectName);

if (result) {
    ggbApplet.evalCommand("Text1 = \"" + objectName + " 是一个复数。\"");
} else {
    ggbApplet.evalCommand("Text1 = \"" + objectName + " 不是一个复数。\"");
}

四、文章最后

若有任何问题欢迎联系，也承接定制任务哦。

（若找不到可以直接搜索店铺：“第五设计”）