Matlab编程资源库（14）常微分方程初值问题的数值解法

news2024/9/9 1:08:44

一、龙格－库塔法简介

龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种常用的数值解微分方程的方法，由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）和马丁·威尔海尔姆·库塔（Martin Wilhelm Kutta）在20世纪初提出。

龙格-库塔法通过将微分方程转化为差分方程来求解，即将微分方程中的导数近似为差分的形式。它是一种迭代的方法，通过迭代的方式逐步逼近精确解。

龙格-库塔法的基本思想是根据当前点的斜率来估计下一个点的值，从而得到微分方程的数值解。它的一般形式为：

k1 = h * f(t, y) k2 = h * f(t + h/2, y + k1/2) k3 = h * f(t + h/2, y + k2/2) k4 = h * f(t + h, y + k3)

y(t+h) = y(t) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6

其中，t为当前的独立变量的值，y为当前的因变量的值，h为步长，f为微分方程的右侧函数。

龙格-库塔法的优点是精度较高，适用于求解较为复杂的微分方程。它可以根据精度的要求选择不同的阶数，通常常用的有四阶和二阶的龙格-库塔法。四阶龙格-库塔法通常是最常用的，具有较高的精度和稳定性。

二、龙格－库塔法的实现

基于龙格－库塔法， MATLAB 提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：

[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)

[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)

其中 fname 是定义 f(t,y) 的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。

tspan 形式为 [t0,tf], 表示求解区间。 y0 是初始状态列向量。 t 和 y 分别给出时间向量和相应的状态向量。

例 7-10 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较 ( 精确解为 y(t)=) 。

(1) 建立函数文件 funt.m 。

function yp=funt(t,y)
yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);

(2) 求解微分方程。

t0=0;tf=10;
y0=2;
[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解
y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解
t'
y'
y1'
y为数值解，y1为精确值，显然两者近似。

运行结果：

三、函数极值

MATLAB 提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数 fmin 和 fmins ，它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小值，其调用格式为：

x=fmin('fname',x1,x2)

x=fmins('fname',x0)

这两个函数的调用格式相似。其中 fmin 函数用于求单变量函数的最小值点。 fname 是被最小化的目标函数名， x1 和 x2 限定自变量的取值范围。 fmins 函数用于求多变量函数的最小值点， x0 是求解的初始值向量。 MATLAB 没有专门提供求函数最大值的函数，只要注意到-f(x)在区间 (a,b) 上的最小值就是 f(x) 在 (a,b) 的最大值，所以 fmin(f,x1,x2) 返回函数 f(x) 在区间 (x1,x2) 上的最大值。