算法：数值算法

news2024/11/17 0:56:58

矩阵乘法

定义与性质

矩阵乘法是线性代数中的一个基本运算，它涉及到两个矩阵的点积运算。给定两个矩阵 A（m×n）和 B（n×p），它们的乘积 C（m×p）定义为：

其中， Cij 是结果矩阵 C 中第 i 行第 j 列的元素， Aik 和 Bkj 分别是矩阵 A 和 B 中对应的元素。

性质

结合律：(AB)C=A(BC)
分配律：A(B+C)=AB+AC
不满足交换律：一般情况下 AB≠BA

应用

矩阵乘法在计算机图形学、信号处理、物理学、经济学以及工程学等多个领域都有广泛的应用。例如，在图形学中，矩阵乘法被用来实现旋转、缩放和平移等几何变换。

生活场景案例

假设你要实现一个简单的图形学中的二维旋转变换。例如，旋转一个点 (x,y) 逆时针旋转 θ 角度后的新坐标 (x′,y′) 可以通过矩阵乘法计算：

代码示例

import numpy as np

# 定义旋转矩阵
def rotation_matrix(theta):
    return np.array([
        [np.cos(theta), -np.sin(theta)],
        [np.sin(theta), np.cos(theta)]
    ])

# 定义一个点 (x, y)
point = np.array([1, 0])

# 定义旋转角度（弧度）
theta = np.pi / 4  # 45度

# 计算旋转后的新坐标
rotated_point = rotation_matrix(theta).dot(point)

print("旋转后的坐标：", rotated_point)

Karatsuba大数乘法

算法原理

Karatsuba算法是一种快速的大数乘法算法，由Anatolii Alexeevitch Karatsuba于1960年提出。该算法基于分治策略，通过减少乘法次数来提高效率。对于两个 n 位的数 x 和 y，Karatsuba算法可以将乘法次数从 n2 降低到大约 n1.585。

运行过程

设 x 和 y 分别为两个 n 位的数，可以将它们写作：

则 x × y可以表示为：

Karatsuba算法通过计算 ac、bd 以及 (a+b)(c+d)，然后减去 ac 和 bd 得到 ad+bc，从而避免了直接计算 ad 和 bc。

生活场景案例

假设你需要计算两个非常大的数的乘积，例如在金融计算中需要处理非常大的数值。

代码示例

def karatsuba(x, y):
    # 基础情况
    if x < 10 or y < 10:
        return x * y

    # 计算两个数的长度
    n = max(len(str(x)), len(str(y)))
    m = n // 2

    # 分割数字
    high1, low1 = divmod(x, 10**m)
    high2, low2 = divmod(y, 10**m)

    # 递归计算
    z0 = karatsuba(low1, low2)
    z1 = karatsuba((low1 + high1), (low2 + high2))
    z2 = karatsuba(high1, high2)

    return (z2 * 10**(2 * m)) + ((z1 - z2 - z0) * 10**m) + z0

# 示例
x = 123456789
y = 987654321

print("Karatsuba乘积：", karatsuba(x, y))

快速傅立叶变换（FFT）

原理与应用

快速傅立叶变换（FFT）是一种高效计算离散傅立叶变换（DFT）及其逆变换的算法。DFT将一个信号从时域转换到频域，而FFT则是一种能够大幅度减少计算量的算法，使得DFT在实际应用中成为可能。

计算复杂度

直接计算DFT的时间复杂度为 O(n2)，而FFT的时间复杂度为 O(n·㏒n)，这使得FFT在处理大规模数据集时非常高效。

实现方法

FFT的一个常见实现是Cooley-Tukey算法，它同样采用分治策略，将DFT分解为较小的DFT，然后将这些结果组合起来。这种方法依赖于复数的旋转因子，即所谓的“旋转向量”。

生活场景案例

假设你需要对一段音频信号进行频谱分析，例如音乐播放器中的频谱显示。

代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams

# 设置默认字体
rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体
rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题


# 生成示例信号
Fs = 500  # 采样频率
T = 1 / Fs  # 采样间隔
t = np.arange(0, 1, T)  # 时间向量

# 生成包含多个频率的信号
f1 = 50   # 频率1
f2 = 120  # 频率2
signal = 3 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + 1.5 * np.sin(2 * np.pi * f2 * t)

# 计算FFT
n = len(signal)
k = np.arange(n)
T = n / Fs
frq = k / T  # 两侧频率向量
frq = frq[range(n // 2)]  # 只取一侧

Y = np.fft.fft(signal) / n  # FFT计算并归一化
Y = Y[range(n // 2)]

# 绘制信号及其频谱
plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, signal)
plt.title('信号')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('幅度')

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(frq, abs(Y))
plt.title('频谱')
plt.xlabel('频率')
plt.ylabel('幅度')

plt.tight_layout()
plt.show()