高等数学 第6讲 中值定理 微分等式 微分不等式

1.涉及函数的中值定理

• 有界与最值定理
• 介值定理
• 平均值定理
• 零点定理(重点)

大前提：函数在闭区间连续

1.1 有界与最值定理

连续函数在闭区间上有最大值和最小值即有界

1.2 介值定理

在连续函数的最大值和最小值之间，存在着一个值μ，那么肯定有一点.ξ，f（ξ）=μ

1.3 平均值定理

在两个点a，b之间存在着任意个点，但是至少其中有一个点ξ，f（ξ）=剩余其他个点的函数值的平均值

1.4 零点定理

f(a)*f(b)<0，存在一点ξ，使得f(ξ)=0,推广就是开区间左右可以取极限

推广就是可以求极限

2.涉及导数(微分)的中值定理

2.1 导数零点定理

前提:f(x)在[a,b]上可导
f’(a)f’(b)<0时，存在ξ属于(a,b),f’(ξ)=0

2.2 罗尔定理

前提，开区间连续，闭区间可导

抓两点，a和b，f(a)=f(b),如果a到b是闭区间连续，开区间可导，那么a到b之间存在一点ξ，使得f’(ξ)=0

推广导罗尔定理：
可以是极限值，但是值得注意的是，这个极值值可以是具体的数，也可以是无穷大

2.3 拉格朗日中值定理

前提，开区间连续，闭区间可导

存在ξ属于(a,b)，使得
$$f\left(b\right)-f\left(a\right)=f^{\prime }\left(\xi \right)\left(b-a\right)$$

2.4 柯西中值定理

前提，开区间连续，闭区间可导，并且g’(x)≠0,就是分母不等于0

$$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}$$

3.泰勒公式

泰勒公式分为两种一种是带有拉格朗日余项的泰勒公式，一种是佩亚诺余项的泰勒公式，其实探究其根本，就是展开的项数不一样，拉格朗日余项会多展开一项，这项是带有中值的。
所以带有拉格朗日余项一般用于区间[a,b]在证明题目中使用，佩亚诺用于点
注意:使用泰勒公式要保证可导

记忆：就是从函数开始，展开导数，n阶导数下面除n！，乘上n阶的差值

一般来说怎么使用？
在证明题目中，我们可以直接展开某个式子，然后通过带入值等操作，进行使用和证明

4.常见题型解析

4.1 方程根的存在性及个数

什么是方程的根？
函数值=0的点

方程根的存在性证明：
两种方法:

• 零点定理
• 罗尔定理

关于罗尔定理，我们是对待证明的原函数使用，它的导数是待证明的函数。

方程根的个数：

证明有且仅有几个根的核心思路是证明它至少几个，再证明至多几个，然后证毕，
当然，证明存在性的方法同样可以用于方程根的个数。

两种方法:

• 单调性
  • 分单调区间，找零点
• 一些结论

结论一(推出至多）：
罗尔定理的推论：
若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上 $n$ 阶可导，且 $f^{(n)}(x)\ne 0$（$n$ 阶导数无实根），则 $f(x)$ 至多 $n$ 个根。

推广，若 $f^{(n)}(x)$ 至多 $k$ 个根，则 $f(x)$ 至多 $k+n$ 个根。

推广就是中间过程反推，不用一直推到最后，即可得到结论。

结论二(推出至少）：

4.2 证明函数不等式

一些常用的基本不等式

积累一些常用的基本不等式如：

解题方法

经典的做法:
经典的方法还是利用单调性，利用一阶导数和二阶导数，通过单调性，得到界限。设出f(x)。
部分题目要求你证明的东西是常数，要会将其中较大的那个设为x，然后证明，然后令x为原先的值，再得出结论。

关于选择题：
假设使用排除法，或者根据选项进行构造假设

4.3 微分中值定理有关的证明题

关于微分中值定理有关的证明题有三类题型：

• 证明一个点ξ属于(a,b)，使F[ξ,f(ξ),f’(ξ)]=0
• 待更新

4.3.1 证明一个点ξ属于(a,b)，使F[ξ,f(ξ),f’(ξ)]=0

解决方法：

1. 分析法(还原法)

就是通过思考，待证明结论的原函数是什么，来设原函数，其中可以任意添加常数，让得到值的过程更加顺畅，因为利用罗尔中值定理，我们需要两个值相同的点。

2.利用已知辅助函数，直接构造出辅助函数

利用我们积累的辅助函数，来构造出对应的类型
可以广义化的使用

第一组辅助函数：(其实可由第二组最一般的情况推出来，但是做题需要，比较常用，我们直接把它记住)

第二组辅助函数：
只记最一般的情况即可，其它情况都可以由最一般的情况推出。

构造辅助函数实践:

3. 计算微分方程的方法，求出辅助函数

较为麻烦，最后考虑这种方法

5.做题总结

有的题目给你积分，用积分中值定理来获得一个点的值。
如：
$$告诉你{\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=0，即可得出存在一点c，使得f\left(c\right)=0$$

积分中值定理:
$$积分中值定理，开区间连续，闭区间可导，存在一点c在\left(a,b\right)之间,使得{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\left(b-a\right)f\left(c\right)$$