97. 小明逛公园
Floyd 算法
Floyd-Warshall算法是一种用于求解图中所有节点对之间最短路径的经典算法。它的时间复杂度为O(n^3)，适用于节点数量不多（通常不超过几百个）的密集图。该算法不仅能处理带权有向图，还能处理带权无向图。
核心思想：动态规划
Floyd-Warshall算法通过引入中间节点的方式，逐步更新节点对之间的最短路径。先遍历中间节点k的原因是为了确保每次更新节点对(i, j)的路径时，都已经考虑过通过所有之前的节点（从1到k-1）作为中间节点的可能性
算法步骤:
1. 初始化：将每个节点对之间的初始距离存储在一个二维数组grid中。如果存在直接边，则将grid[i][j]设为对应的边权重；如果不存在，则设为一个大值（通常表示无穷大），自身到自身的距离设为0。
2. 动态规划：
• 通过引入中间节点k逐步更新最短路径。
• 三重循环遍历每个节点对，并检查通过每个中间节点k是否能找到更短的路径。
• 具体地，检查dist[i][j]是否大于dist[i][k] + dist[k][j]，如果是则更新dist[i][j]为后者。
3. 输出结果：完成所有更新后，dist[i][j]中存储的就是节点i到节点j的最短路径长度。
代码实现：
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
// 读取节点数n和边数m
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
// 初始化grid数组，表示节点间的最短路径
int[][] grid = new int[n + 1][n + 1];
// 将grid数组中的所有值初始化为较大值（表示无穷大）
for (int[] ints : grid) {
Arrays.fill(ints, 10005);
}
// 自身到自身的距离设为0
for (int i = 1; i <= n; i++) {
grid[i][i] = 0;
}
// 读取边的信息并更新grid数组
for (int i = 0; i < m; i++) {
int s = scanner.nextInt(); // 起点
int t = scanner.nextInt(); // 终点
int val = scanner.nextInt(); // 边的权重
grid[s][t] = val; // 初始时刻的最短路径
grid[t][s] = val; // 无向图，双向更新
}
// 读取查询的计划数
int q = scanner.nextInt();
int[][] plans = new int[q][2];
// 读取查询计划的起点和终点
for (int i = 0; i < q; i++) {
plans[i][0] = scanner.nextInt();
plans[i][1] = scanner.nextInt();
}
// 使用Floyd-Warshall算法进行多阶段动态规划求解最短路径
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 更新最短路径
grid[i][j] = Math.min(grid[i][j], grid[i][k] + grid[k][j]);
}
}
}
// 输出每个查询计划的结果
for (int[] plan : plans) {
int start = plan[0];
int end = plan[1];
int res = grid[start][end];
// 如果距离还是初始的较大值，表示两点之间无路径
System.out.println(res == 10005 ? -1 : res);
}
}
127. 骑士的攻击
A * 算法
A*算法是一种用于图搜索的启发式算法，广泛应用于路径规划和导航等领域。它结合了Dijkstra算法的最短路径搜索和启发式搜索策略，能够高效地找到从起点到终点的最短路径。
A*算法的基本思路：
A*算法通过以下三个值来进行路径搜索：
1. G值：从起点到当前节点的实际消耗。
2. H值：从当前节点到终点的预估消耗（启发式函数）。
3. F值：F = G + H，表示经过当前节点的总消耗。
算法步骤
1. 初始化：
• 将起点加入到开放列表（open list）中，并初始化其G、H和F值。
• 开放列表用于存储待检查的节点，关闭列表（closed list）用于存储已检查的节点。
2. 选择当前节点：
• 从开放列表中选择F值最小的节点作为当前节点。如果当前节点是终点，则搜索结束。
• 否则，将当前节点从开放列表移除并加入关闭列表。
3. 处理相邻节点：
• 对于当前节点的每个相邻节点，计算其G、H和F值：
• 如果相邻节点在关闭列表中，则跳过。
• 如果相邻节点不在开放列表中，则将其加入开放列表，并设置其父节点为当前节点。
• 如果相邻节点已经在开放列表中，但通过当前节点到达相邻节点的G值更小，则更新相邻节点的G值和父节点。
4. 重复步骤2和步骤3，直到找到终点或开放列表为空（表示无解）。
启发式函数
启发式函数H的选择非常重要，直接影响A*算法的性能。常用的启发式函数有：
• 曼哈顿距离：适用于棋盘格上的移动，不允许对角线移动。
• 欧几里得距离：适用于允许任意方向移动的情况。
• 切比雪夫距离：适用于允许八方向（包括对角线）移动的情况。
最短路算法总结
如何选用？
高要求：
这个过程中考虑点还是边看是稠密图还是稀疏图
低要求： 会个Floyd和朴素版本Bellman-Ford以及变种即可
- 多源就用Floyd-Warshall算法
- 单源就用（朴素版本Bellman-Ford算法 + 负权回路检测） 版本
- 2.1 有限就用有限节点最短路径版本（朴素版本Bellman-Ford算法 + 负权回路检测 + 有限节点）版本
