【数据结构】建堆算法复杂度分析及TOP-K问题

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前言

哈喽，各位小伙伴大家好！上期我们讲了堆排序和建堆算法。今天我们就来分析一下他们的时间复杂度。话不多说,咱们进入正题。向大厂冲锋!

一.复杂度分析

我们都知道堆是一个完全二叉树。那他的高度h和节点数量N有什么关系呢？

那我们再来对比一下满二叉树和完全二叉树的高度h.

我们用大O渐进表示法看的话他们两个的高度h都可以认为是logN的量级
所以我们的堆的上下调整可以认为是logN，也就是高度次。

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，所以为了方便证明
我们使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个结点不影响最终结果)：

1.1向下建堆复杂度

我们先分别算出第一层到h-1层的节点个数和该层节点的调整次数
然后再推出总的调整次数。

• 推导
  

1.2向上建堆复杂度

我们先分别算出第2层到h层的节点个数和该层节点的调整次数
然后再推出总的调整次数。

• 推导
  

所以向下建堆的时间复杂度是O(N),向上建堆的复杂度是O(N*logN).
所以以后我们都尽量使用向下调整建堆。因为他的效率更高。

1.3堆排序复杂度

现在我们来看一下我们堆排序的时间复杂度是多少呢？

• 推导
  
  堆排序的复杂度是O(N*logN).

二.TOP-K问题

2.1思路分析

我们的堆除了可以用来排序还可以用来解决经典的TOP-K问题。
TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

• 方法一
  我们很容易想到直接排序然后取出前K个即可。
  但是这个方法有个致命缺陷。
  如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。
  
  我们发现这个方法在数据量太大的时候并不适用。
  那有什么其他好的方法吗？
• 方法二
  最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
  1 .用数据集合中前K个元素来建堆
  前k个最大的元素，则建K个数的小堆
  前k个最小的元素，则建K个数的大堆
  2 . 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，
  如果比堆顶元素还要大或小(小堆大 大堆小)则替换堆顶元素，然后向下调整重新建堆。

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

为什么呢？

• 证明
  
  我们通过N-K次比较就可以筛选出N-K个不满足最大前K个数的数
  剩下在堆的数就是最大的前K个。
• 疑问
  

我们用反证法可以得知这种情况不存在。

2.2代码实现

• 生成数据函数
  我们先用srand生成不同的种子防止生成的随机数是伪随机数。
  然后fopen打开文件。循环生成随机数然后写入文件即可。最后关闭文件。

void CreatData()
{
	int n = 100000;//生成10万个数据
	srand(time(0));//生成不同的种子
	FILE* pf = fopen("test.txt", "w");//打开文件
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int x = rand() % 100001+i;//生成随机数
		fprintf(pf, "%d\n", x);//写数据
	}
	fclose(pf);//关闭文件
	pf = NULL;
}

这样10万个数据就生成好了。

• 比较函数

我们先接收k。然后开好k个数是堆空间。
然后从文件读取前k个数并填充到堆里面。然后建堆
然后继续读取文件里的数据直到文件末尾(返回EOF)
然后当数据大于堆顶元素是在进堆，然后重新调整建堆即可。

void test()
{
	int k;
	printf("请输入前K个数：");
    scanf("%d", &k);
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * k);//开空间建堆
	FILE* pf = fopen("test.txt", "r");
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(pf, "%d", &a[i]);
	}//填充数据
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, k, i);
	}//建小堆
	int x;
	while (fscanf(pf, "%d", &x) !=EOF)
	{
		if (x > a[0])
		{
			a[0] = x;
			AdjustDown(a, k, 0);
		}
	}//对比
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}//打印
}

• 检验
  

那我们如何确保这10个数一定是最大的呢？万一我们的算法写错不是最大的前10个数怎么办？










那我们就可以在不同的地方在一些k标点。
也就是K个很大的数，确保他们是最大的前K个。
然后只需要看结果是不是这k个数即可。

大家发现结果就是我们手动给的这10个数。说明我们的程序时没问题的。

后言

这就是建堆算法复杂度分析及TOP-K问题。这里涉及到许多数学知识。大家可以多看几遍证明图。今天就分享到这里。感谢大佬们垂阅！咱们下期见！拜拜~