机器学习 | 回归算法原理——最速下降法（梯度下降法）

news2024/9/20 16:54:55

Hi，大家好，我是半亩花海。接着上次的最小二乘法继续更新《白话机器学习的数学》这本书的学习笔记，在此分享最速下降法（梯度下降法）这一回归算法原理。本章的回归算法原理基于《基于广告费预测点击量》项目，欢迎大家交流学习！

一、最速下降法概述

二、案例分析

1. 设置问题

2. 定义模型

3. 最速下降法

一、最速下降法概述

最速下降法是梯度下降法的一种更具体实现形式，它的原理是：在每次迭代搜索中选择合适的步长 $\alpha_k$ ，沿着梯度的反方向，总可以找到一个 $x^{(k+1)}=x^k-\alpha_k \cdot \nabla f\left(x^{(k)}\right)$ ，使得目标函数值能够得到最大程度的减少，最终在这个方向 $f\left(x^{(k+1)}\right)$ 取到最小值，即 $\alpha_{(k)}=\operatorname{argmin} f\left(x^k-\alpha \cdot \nabla f\left(x^{(k)}\right)\right)$ 。

二、案例分析

在上一节中，我们要让 $E(\theta)$ 越来越小，不过一边随意修改 $\theta$ 的值，一边计算 $E(\theta)$ 并与之前的值相比较的做法实在是太麻烦了。所以我们要使用前面简单提到过的微分来求它。

微分是计算变化的快慢程度时使用的方法。我们在学微分的时候，应该对一个概念比较熟悉，那就是增减表。

1. 设置问题

我们简单举一个例子，比如有一个表达式为 $g(x) = (x - 1)^2$ 的二次函数，如下图所示。可以看出，当 $x = 1$ 时，出现最小值是 $g(x) = 0$ 。

将 $g(x)$ 展开，有 $(x-1)^2=x^2-2 x+1$ ，再对函数进行微分，结果如下：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} g(x)=2 x-2$

为了写出增减表，我们看一下导数的符号（只要看 2x−2 的符号就行）：

由上表可以看出，在 x < 1 时，g(x) 的图形向右下方延伸，反之当 x > 1 时，g(x) 的图形向右上方延伸，换句话说就是从左下方开始延伸的。

比如在 x = 3 这一点，如下图所示，为了使 g(x)的值变小，我们需要向左移动 x，也就是必须减小 x。同理，如果是在另一侧的 x = −1 这一点，如下图所示，为了使 g(x) 的值变小，我们需要向右移动 x，也就是必须增加 x。

2. 定义模型

从上面两个例子可以总结出，我们可以根据导数的符号来决定移动 x 的方向。要向与导数的符号相反的方向移动 x， $g(x)$ 就会自然而然地沿着最小值的方向前进了，即自动更新参数。

上述内容用表达式展示出来，如下式。这也被称为最速下降法（或称为梯度下降法）。

$x:=x-\eta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} g(x)$

其中， $A:=B$ 形式即为通过 B 来定义 A。 $\eta$ 是学习率（正的常数，读作“伊塔”）。根据学习率的大小（学习率可调节）， 到达最小值的更新次数也会发生变化。换种说法就是收敛速度会不同。有时候甚至会出现完全无法收敛，一直发散的情况。

从上述两张图可以看出，如果 $\eta$ 较大，那么 $x:=x-\eta(2 x-2)$ 会在两个值上跳来跳去，甚至有可能远离最小值，这就是发散状态；而当 $\eta$ 较小时，移动量也变小，更新次数就会增加，但是值确实是会朝着收敛方向而去。

3. 最速下降法

在上一节《机器学习 | 回归算法原理——最小二乘法-CSDN博客》中提到目标函数的表达式是： $E(\theta)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\left(y^{(i)}-f_\theta\left(x^{(i)}\right)\right)^2$ 。

这个目标函数 $E(\theta)$ 和上述问题中的 $g(x)$ 同样是开口向上的形状，所以刚才讨论的内容也同样适用于它。不过这个目标函数中包含 $f_\theta(x)$ ，而从 $f_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x$ 这个表达式又可以看出， $f_\theta(x)$ 拥有 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 两个参数。也就是说这个目标函数 $E(\theta)$ 是拥有 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 的双变量函数，所以不能用普通的微分，而要用偏微分。如此一来，更新表达式如下：

$\begin{aligned} & \theta_0:=\theta_0-\eta \frac{\partial E}{\partial \theta_0} \\ & \theta_1:=\theta_1-\eta \frac{\partial E}{\partial \theta_1} \end{aligned}$

我们知道， $E(\theta)$ 中有 $f_\theta(x)$ ，而 $f_\theta(x)$ 中又有 $\theta_0$ ，所以我们可以使用复合函数的微分分别去考虑它们。

$\begin{aligned} & u=E(\theta) \\ & v=f_\theta(x) \end{aligned}$

对上述两个式子进行阶梯性地微分：

先从 u 对 v 微分的地方开始计算，把函数展开后再分别求微分（可以发现，在最后一行，常数与 $\frac{1}{2}$ 相抵消了，微分后的表达式变简单了吧？这就是一开始乘以 $\frac{1}{2}$ 的理由。）：

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial v} & =\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\left(y^{(i)}-v\right)^2\right) \\ & =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial}{\partial v}\left(y^{(i)}-v\right)^2\right) \\ & =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial}{\partial v}\left(y^{(i)^2}-2 y^{(i)} v+v^2\right)\right) \\ & =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\left(-2 y^{(i)}+2 v\right) \\ & =\sum_{i=1}^n\left(v-y^{(i)}\right) \end{aligned}$

下面就是 v 对 $\theta_0$ 进行微分的部分：

$\begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial \theta_0} & =\frac{\partial}{\partial \theta_0}\left(\theta_0+\theta_1 x\right) \\ & =1 \end{aligned}$

接下来，依照复合函数的微分表达式 $\frac{\partial u}{\partial \theta_0}=\frac{\partial u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial \theta_0}$ ，将两个微分的结果相乘，就可以得到对 $\theta_0$ 进行微分的结果了，最后，不要忘了把表达式中的 v 替换回 $f_\theta(x)$ 。

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial \theta_0} & =\frac{\partial u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial \theta_0} \\ & =\sum_{i=1}^n\left(v-y^{(i)}\right) \cdot 1 \\ & =\sum_{i=1}^n\left(f_\theta\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \end{aligned}$

接下来，同理，再算一下对 $\theta_1$ 进行微分的结果：

u 对 v 微分的部分与上述完全相同，所以这次只要计算 v 对 $\theta_1$ 微分的部分即可。

$\begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial \theta_1} & =\frac{\partial}{\partial \theta_1}\left(\theta_0+\theta_1 x\right) \\ & =x \end{aligned}$

最终 u 对 $\theta_1$ 微分的结果：

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial \theta_1} & =\frac{\partial u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial \theta_1} \\ & =\sum_{i=1}^n\left(v-y^{(i)}\right) \cdot x^{(i)} \\ & =\sum_{i=1}^n\left(f_\theta\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x^{(i)} \end{aligned}$

所以参数 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 的更新表达式如下：

$\begin{aligned} & \theta_0:=\theta_0-\eta \sum_{i=1}^n\left(f_\theta\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \\ & \theta_1:=\theta_1-\eta \sum_{i=1}^n\left(f_\theta\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x^{(i)} \end{aligned}$

只要根据这个表达式来更新 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ ，就可以找到正确的一次函数 $f_\theta(x)$ ，进而得出最终符合图像规律的 $f_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x$ 。此时，我们输入任意的广告费（即横坐标），就可以得到相应的点击量（即纵坐标），于是我们就能根据广告费预测点击量。

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