C++树形结构（3 树的中心、重心）

news2024/11/15 8:38:56

目录

一.树的中心：

1.树的概念：

2.树的性质：

性质1：

性质2：

3.树的中心求解：

4.例题：

二.树的重心：

1.基础概念：

2.求解方法：

3.例题：

4.重心的性质：

性质1：

性质2：

性质3：

性质4：

性质5：

5.例题：

①子树的重心

②唯一的重心

③会议

一.树的中心：

除了直径的端点还有一个点我们完成题目时经常会用到，这就是树的中心。

1.树的概念：

以树的中心为根时，从该根到每个叶子节点的最长路径最短，使得路径和平衡。实际应用：在若干村庄中（树形结构）修一个小学，使得所有村庄到学校的最大距离最小，小学应该修在什么位置？

2.树的性质：

性质1：

树的中心一定在直径上，且趋向于中点位置

性质2：

树的中心可以有一个(单中心)，也可以有两个(双中心)

证明：引理性质2，若树的中心p不在直径st上，st上有一点q与直径联通。中心点能到的最远距离为：max(qs,qt)+pq，若要使得该值最小，pq应当为0，因此p在直径上。同时为了让max(qs,qt)更小，树的中心要在直径中点处。

3.树的中心求解：

我们现在已经知道求解任意一点到两端点的距离，即根据性质2可很轻松得到每个点能到的最长路径。求出每个点后的路径后，一次遍历便可知树的中心点。

4.例题：

题目描述：

给定一棵树，树中包含 n个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，每条边都有一个正权值。请你在树中找到一个点，使得该点到树中其他结点的最远距离最近。输出该节点以及最近距离。(若存在多个点的距离相同，则输出编号较小的一个)

题目分析：

有data数组表述每个点出发的最大距离，因此我们在第2次和第3次dfs的过程中，与dis数组比较即可。并且在第3次dfs时，把最小距离求出来。

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,data[100001],dl[100001],maxn,maxn2,minn=2e9,tmp,pl;
vector<int> v[10001];
vector<int> w[10001];
void dfs(int x,int fa,int cnt) {
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		if(y==fa) continue;
		data[y]=data[x]+w[x][i];
		if(maxn<data[y]) pl=y,maxn=data[y];
		if(cnt==3) {
			maxn2=max(data[y],dl[y]);
			if(maxn2<minn) minn=maxn2,tmp=y;
		}
		dfs(y,x,cnt);
	}
}
int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n-1; i++) {
		int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
		w[x].push_back(z);
		w[y].push_back(z);
	}
	dfs(1,0,1);
	maxn=0;
	memset(data,0,sizeof data);
	dfs(pl,0,2);
	for(int i=1; i<=n; i++)	dl[i]=data[i];
	memset(data,0,sizeof data);
	maxn=0;
	dfs(pl,0,3);
	cout<<tmp<<" "<<minn;
	return 0;
}

二.树的重心：

1.基础概念：

使得最大子树大小最小。那么这个点叫就被叫做树的重心

在线性的序列[1,n]中，我们在考虑用分治思想处理问题时，需对问题进行划分。在划分问题时若要更加均匀，我们选择中点mid可以更加高效。这样得到[1,mid],[mid+1,n]两个子序列，因为子序列中元素的个数<=n/2(向上取整)，这样可以把问题复杂度优化到O(logn)

2.求解方法：

显然，要求树的重心，我们可以枚举出每个点为断点时，所产生的最大子树大小。某断点求当前最大子树大小的方法：对该点进行dfs，找到以i为根节点的子树的大小记录到sz[i]中，接着在该点的儿子中找si最大的一个。复杂度为O(n2)

3.例题：

题目描述：

给定一棵树，树中包含 n（n<=1e5）个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，找出树的重心若重心不止一个，则输出编号较小的），以及当前重心下的最大子树大小。

题目分析：

这是一道关于重心的基础题，仅需用重心的求解方法，再用之前讲的求最大子树的方法就可以了。

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
vector<int> v[N];
int d[N],minn=N,n;//d数组记录当前节点子树的大小
int res,id;//id记录重心，minn为重心下最大子树的大小
void dfs(int x,int fa) {
	d[x]=1;
	int res=0;//开始找以x为根的最大子树
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
		d[x]+=d[y];
		res=max(d[y],res);//打擂台找几个子树中的最大值
	}
	res=max(res,n-d[x]);//除最大字数为，剩下的子树
	if(minn>res) minn=res,id=x;
}
int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1; i<n; i++) {
		int x,y;cin>>x>>y;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}
	dfs(n,0);
	cout<<id<<" "<<minn;
	return 0;
}

4.重心的性质：

设mss(u)表示以u为重心的最大子树，s0(u)表示以u为根的子树大小,su(v)表示以u为根的的子树v大小。

性质1：

重心点的最大子树大小不大于整棵树大小的一半。

证明：

设u为重心，v为u的最大子树。可以得出：s0[u]-su[v]>=su[v] ，即 su[v]<=s0[u]/2在整颗树中，存在s0[u]=n，所以su[v]<=n/2得证以某点为根，最大子树大小不超过n/2的都是树的重心

常用推导：

Ⅰ.以某点为根，最大子树大小不超过n/2的一定是树的重心。

Ⅱ.以root为根的有根树中，树的重心一定在其最大的一颗子树内。具体来讲，假设y为root的最大子树的儿子，那么重心一定在tp[y]->root的这一条链中（tp[y]表示子树y的重心）。

性质2：

非空树有且仅有1-2个重心。当有两个重心时，树定有偶数个节点，且两个重心相邻。

证明：

假设u、v为树上两个重心，u，v分别为对方最长链上的点。此时：mss[u]=mss[v]又设k为两个重心之间存在的点数。由mss[u]=su[v]+k，mss[v]=sv[u]+k,推出sv[u]=su[v]。在k个点中选择中点p，此时，mss[p]=max(su[v]+k/2,sv[u]+k/2) >=su[v]+k,当且仅当k=0时，不等式成立。重心u、v之间必不可能有点。所以若有两个重心，则重心必然相邻。

性质3：

树中所有点到重心的距离和最小，反过来距离和最小的点一定是重心。

证明：

当前重心为u。mss[u]=su[v]。假设重心从u移动到v，mss[v]=sv[u]，可得1类节点到重心的距离加1，2类节点到重心的距离减少1，因此当增加部分sv[u] 小于 减少部分 sv[u]时，距离和减少所以当su[v]>sv[u]时，重心移动，得到mss更小。反之若当前mss已经最小，则无法再产生一个更小距离和。

性质4：

往树上增加或减少一个叶子，如果原节点数是奇数，那么重心可能增加一个，原重心仍是重心；如果原点数是偶数，重心可能减少一个，另一个重心仍是重心。节

性质5：

把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，则新的重心在较大的一棵树一侧的连接点与原重心之间的简单路径上。如果两棵树大小一样，则重心就是两个连接点。

5.例题：

①子树的重心

题目描述：

输入一棵树,判断每一棵子树的重心是哪一个节点。第一行输入n,q。n表示树的节点个数，q表示询问次数。第二行n-1个数，分别表示从节点2开始，各节点的父亲节点。后面q行，每行一个数x，表示询问当前以x为根的子树中，树的重心位置。(n,q<=3e5)

题目分析：

本题若对每一次询问都查询一遍子树的重心，那么复杂度为O(nq)。在我们求一颗树T的重心时，根据推导2知道，重心一定在最大子树的重心到该树T的根这一条链上。所以我们如果知道最大子树的重心，此时就可以遍历这一条链上的点，根据推导1，只要该点满足其最大子树大小不超过n/2，那么一定是重心。所以我们可以dfs下去，先求出小的子树重心，回溯时再把当前的重心进行记录即可。复杂度O(n+q)

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
vector<int> v[N];
int d[N],minn=N,res,id[N],n,t[N],s[N],q;
void dfs(int x) {
	d[x]=1;
	int res=0;
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		dfs(y);
		d[x]+=d[y];
		if(d[y]>d[id[x]]) id[x]=y;//找子树最大的“儿子”
	}
	if(id[x]==0) {//叶子节点的重心就是自己
		t[x]=x;
		return;
	}
	t[x]=t[id[x]];//从“儿子”的重心调到自身，满足条件且靠近x
	while(d[t[x]]*2<d[x]) t[x]=s[t[x]];//向上找重心
}
int main() {
	cin>>n>>q;
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		int x;cin>>x;
		s[i]=x;
		v[x].push_back(i);
	}
	dfs(1);//有根树，往下进行dfs
	for(int i=1; i<=q; i++) {
		int y;cin>>y;
		cout<<t[y]<<endl;
	}
	return 0;
}
//d[i]：表示以i为根的子树大小
//s[i]：表示节点i的父亲节点
//id[i]：表示以i为根的有根树的最大子树
//t[i]：表示以i为根的有根数的重心

②唯一的重心

题目描述：

给定一棵节点数为 n(n<=3e5) 的树 ， 删一条边然后加上一条边 ， 使得该树的重心唯一 。（删掉的边和加上的边可以是同一条）输出删边与加边信息，本题多测。

题目分析：

若存在一个重心，删边与加边都可以是同一条边。若不止一个重心，引理性质2，最多存在两个重心，且重心直接相连。假设两重心分别为idx，idy。要保证只留下一个重心，那就应当对某个重心子树idx进行修改，删除其叶子节点的一条边，且将该叶子节点直接连到另一个重心idy上即可。

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,minn=N,z1,z2;//z1、z2两个重心
int u,sz[N],f[N];//u是断开的叶子节点
vector<int>v[N];
void dfs(int x,int fa) {
	sz[x]=1,f[x]=fa;
	int res=0;
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		if(y==fa) continue;
		sz[x]+=sz[y];
		res=max(res,sz[y]);
	}
	res=max(res,n-sz[x]);
	if(minn>res) z1=x,z2=0,minn=res;
	else if(minn==res) z2=x;
}
void dfs1(int x,int fa) {
	if(v[x].size()==1) u=x;
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		if(y==fa) continue;
		dfs1(y,x);
	}
}
int main() {
	int t;
	cin>>t;
	while(t--) {
		cin>>n;
		for(int i=1; i<n; i++) {
			int x,y;cin>>x>>y;
			v[x].push_back(y);
			v[y].push_back(x);
		}
		dfs(1,0);
		if(z2==0) {//只有一个重心，就直接输出
			cout<<"1 "<<v[1][0]<<endl<<"1 "<<v[1][0]<<endl;
			continue;
		}
		if(f[z1]!=z2) swap(z1,z2);//保证只有一个重心在子树上遍历
		dfs1(z1,z2);
		cout<<u<<" "<<f[u]<<endl<<u<<" "<<z2<<endl;
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			f[i]=0,v[i].clear();
		}
		minn=N,z1=z2=0;
	}
	return 0;
}

③会议

题目描述：

有一个村庄居住着 n 个村民，有 n−1 条路径使得这 n 个村民的家联通，每条路径的长度都为 1。现在村长希望在某个村民家中召开一场会议，村长希望所有村民到会议地点的距离之和最小，那么村长应该要把会议地点设置在哪个村民的家中，并且这个距离总和最小是多少？若有多个节点都满足条件，则选择节点编号最小的那个点。

题目分析：

求所有点到某点的距离和，根据重心性质3，显然是到重心最小，因此求出重心，在进行距离和统计即可。

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+5;
int n,minn=N,idx,idy,sum,u,sz[N];//sz数组记录当前节点的子树大小
vector<int>v[N];
void dfs(int x,int fat) {
	sz[x]=1;
	int res=0;
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		if(y==fat) continue;
		dfs(y,x);
		sz[x]+=sz[y];
		res=max(sz[y],res);
	}
	res=max(res,n-sz[x]);
	if(minn>res) idx=x,minn=res;
	else if(minn==res&&idx>x) idx=x;
}
void dfs1(int x,int fat,int num) {
	sum+=num;
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		if(y==fat) continue;
		dfs1(y,x,num+1);
	}
}
int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1; i<n; i++) {
		int x,y;cin>>x>>y;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,0);//找重心
	dfs1(idx,0,0);//统计距离和
	cout<<idx<<" "<<sum;
	return 0;
}

树形结构（1 基础）：https://blog.csdn.net/Archie28/article/details/140532542

树形结构（2 树的直径）：https://blog.csdn.net/Archie28/article/details/140532713

树形结构（总）：https://blog.csdn.net/Archie28/article/details/140504428

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