m个人拉m盏灯后求灯的状态问题

news2024/9/21 19:43:29

之前看过一道题：有m盏灯，编号分别为1，2，3，...，m，每拉一次灯的开关，灯的亮灭状态就发生一次变化。这m盏灯初始状态都是亮着的，有m个人去拉灯，第1个人把所有的灯都拉一次，第2个人把编号是2的倍数的灯拉都拉一次，第3个人把编号是3的倍数的灯都拉一次，...，第m个人把编号是m的灯都拉一次。问：最终哪些编号的灯是灭的？

以下是解决这种问题的几种方法。

一、人工按步骤操作

二、编程求解方法

1、编程方法一：最基本编程求解思路

2、编程方法二：数理分析+枚举法

3、编程方法三：求m中最大平方根法

一、人工按步骤操作

如果m的数值比较小，可以用手动的方法一个个去试一下，也是可以做出来的，如下表所示。

	灯1	灯2	灯3	灯4	灯5	灯6	灯7	灯8	灯9	灯10
初始	亮	亮	亮	亮	亮	亮	亮	亮	亮	亮
拉1次	灭	灭	灭	灭	灭	灭	灭	灭	灭	灭
拉2次	灭	亮	灭	亮	灭	亮	灭	亮	灭	亮
拉3次	灭	亮	亮	亮	灭	灭	灭	亮	亮	亮
拉4次	灭	亮	亮	灭	灭	灭	灭	灭	亮	亮
拉5次	灭	亮	亮	灭	亮	灭	灭	灭	亮	灭
拉6次	灭	亮	亮	灭	亮	亮	灭	灭	亮	灭
拉7次	灭	亮	亮	灭	亮	亮	亮	灭	亮	灭
拉8次	灭	亮	亮	灭	亮	亮	亮	亮	亮	灭
拉9次	灭	亮	亮	灭	亮	亮	亮	亮	灭	灭
拉10次	灭	亮	亮	灭	亮	亮	亮	亮	灭	亮

但这种方法效率太低了，而且容易出错，如果m值很大，用这种手动的方法就更不可行了。

二、编程求解方法

1、编程方法一：最基本编程求解思路

可以用编程的方法来解决，这个问题如果用c++语言编程的思路如下：

第一步：声明一个整形变量m，由键盘输入m的具体值。

第二步：声明一个有m+1个元素的布尔型数组，其中脚标为1到m的元素用于存储m盏灯的亮灭状态，亮为1，灭为0。

第三步：用for循环求解当所有人都拉过一次灯后，灯的状态。这一步是关键，灯的序号用i表示，人的序号用j表示，从i=1开始到m结束，循环求解j=1开始到m结束，i是否是j的倍数，如果是则序号为i的灯状态翻转一次。

第四部：把状态为灭的灯的序号输出。

具体代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main()
{
    int m;    //声明m盏灯
    cin>>m;    //键盘输入m的具体数值    
    bool lamp_status[m+1];    //声明存储灯状态的布尔型变量数组，1为亮，0为灭

    for(int i=1;i<=m;i++)    //循环求解i盏灯的状态
        {
            lamp_status[i]=1;    //灯的初始状态为亮
            for(int j=1;j<=m;j++)    //循环求解第j个人拉灯之后，灯的状态变化
                {
                    if(i%j==0)        //如果i是j的倍数，则灯的状态进行翻转
                    lamp_status[i]=!lamp_status[i];
                }
                
            if(lamp_status[i]==0)     //如果灯的状态为灭则输出灯的序号
                {
                    cout<<i<<endl;
                }
        } 
    return 0;
}

运行程序，当m=10时，结果如下：

1
4
9

当m=100时，结果如下：

运算结果与题目给出的答案是一致的，编程求解的算法成功。

2、编程方法二：数理分析+枚举法

但本文目的不仅在此。

通过观察编程方法一运行的结果发现，灯状态为灭的序号都是完全平方数！为了排除巧合，把m的值再加大到1000，10000，得到的所有结果仍然是完全平方数。也就是说，这不是偶然的现象，而是一个必然的规律。

那么这个规律是什么呢？我们从数学角度来分析一下。

用i来表示从1到m的某盏灯的编号，j表示从1到m的某个拉灯的顺序号。

第i盏灯的最终亮灭状态是由灯的状态翻转次数决定的，当翻转次数是奇数次，那么灯的状态与初始状态相反，为灭；当翻转次数为偶数次，灯的状态与初始状态相同，为亮。

第j个人拉灯时，当i是j的倍数，或者说j是i的因数时，第i盏灯状态才发生翻转。而j的最大值和i的最大值都为m，那么第i盏灯翻转的次数等于i的因数的个数。

所以求解第i盏灯的状态问题，就转化为求解i这个自然数含有因数的个数是奇数还是偶数的问题。那么一个自然数，它的因数的个数有什么规律呢？这个就跟这个自然数是不是完全平方数有关，我们知道一个自然数总可以表示成另外两个自然数相乘的形式，这两个自然数就是它的因数。

比如：1=1×1，2=1×2；4=1×4=2×2；5=1×5；6=1×6=2×3，7=1×7，8=1×8=2×4，12=1×12=2×6=3×4，36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6...。

通过观察发现，一个自然数的因数都是成对出现的，当存在某对因数相等的时候，这个自然数就是完全平方数，也就是完全平方数的因数的个数是奇数。而非完全平方数，不存在某对因数相等的情况，所以因数的个数为偶数。

至此，判断第i盏灯状态是否是亮灭的时候，就转化为看i是否为完全平方数的问题了，当i为完全平方数，其因数个数为奇数个，第i盏灯状态与初始状态相反，为灭；当i不是完全平方数时，其因数个数为偶数个，第i盏灯状态与初始状态相同，为亮。所以，这个问题实际就是求解从1到m的自然数中一共有哪几个完全平方数。

这个问题怎么用c++语言来求呢？

思路如下：可以从1到m，一个一个判断i是否是完全平方数，如果是就枚举出来。判断的方法是先求i的平方根，然后取整，再把取整后的平方根进行求平方运算。如果i是完全平方数，其平方根是整数，取整后不变，对取整后的平方根进行平方运算，结果和i相等。如果i不为完全平方数，那么其平方根不为整数，取整后再进行平方运算，结果会小于i。

根据以上思路，程序代码如下：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
 
int main()
{
    int m;    //声明m盏灯
    cin>>m;    //键盘输入m的具体数值
    for(int i=1;i<=m;i++)    //循环求解i盏灯的状态
        {
            int squarRoot=sqrt(i);    //求i的平方根并取整
            if(squarRoot*squarRoot==i)    //如果取整后的平方根的平方与i相等，说明i的平方根为整数，i是完全平方数
            cout<<i<<endl;
        } 
    return 0;
}

运行的结果和编程方法一的结果是一样的。

3、编程方法三：求m中最大平方根法

通过观察发现，自然数m以内的完全平方数，虽然不是连续的自然数，但这些完全平方数的平方根是连续的自然数，如下表所示。

完全平方数	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	...
对应平方根	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...

所以，当我们知道m的具体值时，m的平方根的整数部分为 $m_{0}$ ，那么 $m_{0}$ 就是m以内最大完全平方数对应的那个最大平方根，{1,2,..., $m_{0}$ }就是所有的完全平方数对应的平方根，知道了这些平方根，那么再反过来求出完全平方数的集合为{ $1^{2},2^{2},3^{2},...,m_{0}^{2}$ }。

根据以上思路的编程代码如下：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
 
int main()
{
    int m;    //声明m盏灯
    cin>>m;    //键盘输入m的具体数值
    int MaxsquarRoot=sqrt(m);       //求平方数为m的最大整数平方根，那么小于等于这个最大整数平方根的所有自然数的平方都是小于m的完全平方数。
    for(int i=1;i<=MaxsquarRoot;i++)    //循环求解i盏灯的状态
        {
            cout<<i*i<<endl;
        } 
    return 0;
}

对比三种编程方法，从时间复杂度上来说，方法一的时间复杂度为 $o(n^2)$ ，方法二为 $o(n)$ ，而方法三为 $o(1)$ ，方法三完胜！方法三不但时间复杂度低，而且适合人工求解，真是个好方法。