目录

一、概念

图是什么

各种图的定义

二、图的存储结构

邻接矩阵

邻接表

代码实现邻接表存储图（不含权重）

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一、概念

图是什么

        图（Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为:G(V,E)，其中，G 表示一个图，V 是图G 中顶点的集合，E 是图G 中边的集合。

各种图的定义

        若顶点v1到V之间的边没有方向，则称这条边为无向边(Edge)，用无序偶对(v,vy) 来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图(Undirected graphs)。 下图左图就是一个无向图，由于是无方向的，连接顶点A与D的边，可以表示成无序对(A,D), 也可以写成(D,A)。

        对于左图无向图G1来说，G1= (V,{E1}), 其中顶点集合V1={A,B,C,D};边集合E1={ (A,B) ，(B,C) ，(C,D) ，(D,A) ，(A,C) }。

        有向边:若从顶点 v到的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧(Arc )。用有序偶<vi， v1>来表示称为弧尾(Tail)称为头(Head)。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图(Directed graphs)。图 7-2-3就是一个有向图。连接顶点A到 D的有向边就是A是尾D是头AD表示注意不能写成<D，A>。

 

        在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。如下两种图就不属于我们讨论的范围。 

        在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有 n*(n-1)/2 条边。比如图7-2-5 就是无向完全图，因为每个顶点都要与除它以外的顶点连线，顶点A与BCD三个顶点连线，共有四个顶点，自然是4x3,但由于顶点A与顶点B连线后，计算B与A连线就是重复，因此要整体除以2，共有6条边。

          在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称改图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。如下图所示。

        有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。这里稀疏和稠密是模糊的概念，都是相对而言的。

        有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权(Weight)。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网(Network)。下图就是一张带权的图，即标识中国四大城市的直线距离的网，此图中的权就是两地的距离。

        假设有两个图 G=(V{E})和G`=(V`{E`})，如果V`包含于V且E`包含于E，则称G`为G的子图(Subgraph)（文字描述就是子图的顶点和边都在G图内存在）。例如下图带底纹的图均为左侧无向图与有向图的子图。

        路径的长度是路径上的边或弧的数目。下图中左侧路径长为2，右侧路径长度为3。

        第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

        图中任意两个顶点之间是连通的，有路径的，则称该图为连通图。

        无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念，它强调:

• 要是子图;
• 子图要是连通的;
• 连通子图含有极大顶点数:
• 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

总结：

• 图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边构成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分。
• 图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
• 图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。
• 图上的边或弧上带权则称为网。
• 图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。
• 无向图中连通且n个顶点 n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。

二、图的存储结构

        图的存储结构相较线性表与树来说就更加复杂了。首先，我们口头上说的“顶点的位置”或“邻接点的位置”只是一个相对的概念。其实从图的逻辑结构定义来看，图上任何一个顶点都可被看成是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。

        比如下图的四张图，仔细观察发现，它们其实是同一个图，只不过顶点的位置不同，就造成了表象上不太一样的感觉。

邻接矩阵

为什么用邻接矩阵解决？

        考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成。合在一起比较困难，那就很自然地考虑到分两个结构来分别存储。顶点不分大小、主次，所以用一个一维数组来存储是很不错的选择。而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，一维搞不定，那就考虑用一个二维数组来存储。于是我们的邻接矩阵的方案就诞生了。

邻接矩阵如何存储？

        图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

        如下，左图为一无向图，右图为根据左图设置的邻接矩阵，如果两顶点之间有边则值为1，无边值为0。某个顶点的度是这个顶点在接矩阵中第i行(或第i列)的元素之和。比如顶点 v1的度就是1+0+1+0=2。

下图为有向图及其邻接矩阵。

 

邻接表

        邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是对于边数相对顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。比如说，如果我们要处理下图这样的稀疏有向图，邻接矩阵中除了arc[1][0]有权值外，没有其他弧，其实这些存储空间都浪费掉了。

         因此，引入同样适用于图的存储的邻接表。

        邻接表( Adjacency List)是数组与链表相结合的存储方法。具体如下：

1. 顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。
2. 图中每个顶点v的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点v的边表，有向图则称为顶点v作为弧尾的出边表。例如下图所示的就是一个无向图的邻接表结构。

        从图中我们知道，顶点表的各个结点由data和 firstedge 两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge 是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和 next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。比如v1顶点与vo、vz互为邻接点，则在v1的边表中，adjvex 分别为vo的0和vz的2。
        这样的结构，对于我们要获得图的相关信息也是很方便的。比如我们要想知道某个顶点的度，就去查找这个顶点的边表中结点的个数。若要判断顶点v到v是否存在边，只需要测试顶点v的边表中 adjvex是否存在结点v的下标j就行了。若求顶点的所有邻接点，其实就是对此顶点的边表进行遍历，得到的adjvex域对应的顶点就是邻接点。
        若是有向图，邻接表结构是类似的，比如图下图中第一幅图的邻接表就是第二幅图。但要注意的是有向图由于有方向，我们是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易就可以得到每个顶点的出度。但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表，即对每个顶点v都建立一个链接为v为弧头的表。如下图最下面的图所示。

        此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现。
        对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个 weight的数据域，存储权值信息即可，如下图所示。

 

代码实现邻接表存储图（不含权重）

//邻接表
#include<iostream>
using namespace std;
#define SIZE 10

class Edge//边
{
public:
    Edge() :m_next(NULL) {}
    Edge(int index) :m_destindex(index), m_next(NULL) {}
    int m_destindex;
    Edge* m_next;
};

class Vertex//顶点
{
public:
    Vertex():m_list(NULL){}
    Vertex(char v):m_value(v),m_list(NULL){}
    char m_value;
    Edge* m_list;
};
//图存储顶点的一维数组
class Graph
{
public:
    Graph();
    ~Graph();
    void InsertVertex(char v);//插入顶点
    void InsertEdge(char v1, char v2);//边
    int GetVertexIndex(char v);//获得顶点下标
    void ShowGraph();
    void DeleteEdge(char v1, char v2);//删除边函数
    void DeleteVertex(char v);//删除顶点函数
private:
    int m_MaxVertex;//最大能存储的顶点个数
    int m_NumVertex;//实际存储的个数
    //Vertex* m_VerArr;
    Vertex m_VerArr[SIZE];
};
Graph::Graph()
{
    m_MaxVertex = SIZE;
    m_NumVertex = 0;
    //m_VerArr = new Vertex[m_MaxVertex];
}
Graph::~Graph()
{
 /*   if (m_VerArr != NULL)
    {
        delete[]m_VerArr;
        m_VerArr = NULL;
    }*/
    m_NumVertex = 0;
}
void Graph::InsertVertex(char v)
{
    if (m_NumVertex >= m_MaxVertex)//空间满了就不放
        return;
    //没满就放
    m_VerArr[m_NumVertex++].m_value = v;
}

int Graph::GetVertexIndex(char v)
{
    //循环查找
    for (int i = 0; i < m_NumVertex; i++)
    {
        if (m_VerArr[i].m_value == v)//找到返回下标
            return i;
    }
    return -1;//没找到
}
void Graph::InsertEdge(char v1, char v2)
{
    //1.获得顶点下标，没有该下标（下标=-1）
    int p1index = GetVertexIndex(v1);
    int p2index = GetVertexIndex(v1);
    if (p1index == -1 || p2index == -1)
    {
        return;//任有一个不存在就返回
    }
    //插入v1到v2的边，头插法把p2的结点插入到p1前面
    Edge* p = new Edge(p2index);//new出p2的结点
    p->m_next = m_VerArr[p1index].m_list;//p2的头
    m_VerArr[p1index].m_list = p;//然后把头挪到P的位置
    //v2到v1，同理操作
    p = new Edge(p1index);
    p->m_next = m_VerArr[p2index].m_list;
    m_VerArr[p2index].m_list = p;
}

void Graph::ShowGraph()
{
    Edge* p = NULL;
    for (int i = 0; i < m_MaxVertex; i++)
    {
        cout << i << " " << m_VerArr[i].m_value << "->";//先把每个顶点输出
        p = m_VerArr[i].m_list;//让p=边链表的头
        while (p != NULL)
        {
            cout << p->m_destindex << "-》";
            p = p->m_next;
        }
    }
}
//删除边
void Graph::DeleteEdge(char v1, char v2)
{
    int p1index = GetVertexIndex(v1);
    int p2index = GetVertexIndex(v2);
    if (p1index == -1 || p2index == -1)//没找到
        return;
    //先删除v1到v2
    Edge* pf = NULL;
    Edge* p = m_VerArr[p1index].m_list;//p定位到头节点位置
    while (p != NULL && p->m_destindex != p2index)
    {
        pf = p;
        p = p->m_next;
    }
    if (p == NULL)//没有边
        return;
    if(pf==NULL)//删除的是第一个边p，就把头指向第二个边
    {
        m_VerArr[p1index].m_list = p->m_next;
    }
    else//删除的是第二个及后面的边，就让第一个指向p的下一个
    {
        pf->m_next = p->m_next;
    }
    delete p;
    pf = NULL;
    //删除v2到v1
    p = m_VerArr[p2index].m_list;//p指向v2
    while (p->m_destindex != p1index)
    {
        pf = p;
        p = p->m_next;
    }
    //1.第一个
    if (pf == NULL)
        m_VerArr[p2index].m_list = p->m_next;
    //2.第二个以后
    else
        pf->m_next = p->m_next;
    delete p;
}

//删顶点，删除顶点不仅需要删除某一顶点还需要删除和他相连的边
void Graph::DeleteVertex(char v)//删除顶点v
{
    int vindex = GetVertexIndex(v);
    if (vindex == -1)
        return;
    Edge* p = m_VerArr[vindex].m_list;
    char destVerTex;
    while (p != NULL)//先把顶点内边删除完毕
    {
        destVerTex = m_VerArr[p->m_destindex].m_value;
        DeleteEdge(v, destVerTex);
        p = m_VerArr[vindex].m_list;
    }
    //然后开始删除顶点
    //顶点是个一维数组，普通删除是移动进行替换，但是此处采用的方式是覆盖，用最后一个顶点覆盖待删除顶点的所有信息
    m_NumVertex--;//顶点个数先--
    m_VerArr[vindex].m_value = m_VerArr[m_NumVertex].m_value;
    m_VerArr[vindex].m_list = m_VerArr[m_NumVertex].m_list;

    //在其他节点内对删除结点的边进行下标替换为最后一个结点的下标
    p = m_VerArr[vindex].m_list;//p是记录最后一个结点对应的链内下标
    Edge* q = NULL;//q记录新结点对应链内下标
    while (p != NULL)
    {
        int k = p->m_destindex;//p内找到结点下标a
        q = m_VerArr[k].m_list;//q记录新结点对应链内下标
        while (q != NULL)//在q内查找这个a下标
        {
            if (q->m_destindex == m_NumVertex)//找到了就把a结点的值改为p所在的结点（最后挪上来的结点）
            {
                q->m_destindex = vindex;
                break;
            }
            else
                q = q->m_next;
        }
        p = p->m_next;
    }
}


int main()
{
    Graph g;
    g.InsertVertex('a');
    g.InsertVertex('b');
    g.InsertVertex('c');
    g.InsertVertex('d');
    g.InsertEdge('a', 'b');
    g.InsertEdge('a', 'c');
    g.InsertEdge('a', 'd');
    g.InsertEdge('b', 'c');
    g.InsertEdge('c', 'd');
    g.ShowGraph();
}