什么是Diffusion Model？ 什么是Diffusion Model? ¶

如果将Diffusion与其他生成模型（如Normalizing Flows、GAN或VAE）进行比较，它并没有那么复杂，它们都将噪声从一些简单分布转换为数据样本，Diffusion也是从纯噪声开始通过一个神经网络学习逐步去噪，最终得到一个实际图像。 Diffusion对于图像的处理包括以下两个过程：

• 我们选择的固定（或预定义）正向扩散过程 𝑞𝑞 ：它逐渐将高斯噪声添加到图像中，直到最终得到纯噪声

• 一个学习的反向去噪的扩散过程 𝑝𝜃𝑝𝜃 ：通过训练神经网络从纯噪声开始逐渐对图像去噪，直到最终得到一个实际的图像

由 𝑡𝑡 索引的正向和反向过程都发生在某些有限时间步长 𝑇𝑇（DDPM作者使用 𝑇=1000𝑇=1000）内。从𝑡=0𝑡=0开始，在数据分布中采样真实图像 𝐱0𝑥0（本文使用一张来自ImageNet的猫图像形象的展示了diffusion正向添加噪声的过程），正向过程在每个时间步长 𝑡𝑡 都从高斯分布中采样一些噪声，再添加到上一个时刻的图像中。假定给定一个足够大的 𝑇𝑇 和一个在每个时间步长添加噪声的良好时间表，您最终会在 𝑡=𝑇𝑡=𝑇 通过渐进的过程得到所谓的各向同性的高斯分布。

Diffusion 前向过程

• 这个过程逐步将数据添加噪声，直到最终数据变成纯噪声。具体地，给定一个初始数据分布 q(x0)q(\mathbf{x}_0)q(x0​)，我们通过一系列马尔可夫链来生成一个噪声序列 x1,x2,…,xT\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_Tx1​,x2​,…,xT​，使得每一步 xt+1\mathbf{x}_{t+1}xt+1​ 都是在 xt\mathbf{x}_txt​ 的基础上添加了一定的噪声。

• 这个过程的转移概率可以表示为：

  q(xt+1∣xt)=N(xt+1;1−βtxt,βtI)q(\mathbf{x}_{t+1} | \mathbf{x}_t) = \mathcal{N}(\mathbf{x}_{t+1}; \sqrt{1-\beta_t}\mathbf{x}_t, \beta_t\mathbf{I})q(xt+1​∣xt​)=N(xt+1​;1−βt​​xt​,βt​I)

  其中， βt\beta_tβt​ 是一个逐渐增加的噪声系数。
  
  具体过程如下：

• 初始化数据：

  • 给定一组数据样本 x0\mathbf{x}_0x0​（例如，图像）。

• 逐步添加噪声：

  • 对于每一步 t=1,2,…,Tt = 1, 2, \ldots, Tt=1,2,…,T，按照以下方式添加噪声： q(xt∣xt−1)=N(xt;1−βtxt−1,βtI)q(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{t-1}) = \mathcal{N}(\mathbf{x}_t; \sqrt{1-\beta_t}\mathbf{x}_{t-1}, \beta_t\mathbf{I})q(xt​∣xt−1​)=N(xt​;1−βt​​xt−1​,βt​I)
  • 这里， βt\beta_tβt​ 是噪声的方差，通常设置为一组递增的值，如线性递增或余弦递增。

• 从初始数据到纯噪声：

  • 经过多次添加噪声（例如，经过 T 步），最终数据 xT\mathbf{x}_TxT​ 将接近于纯噪声分布。

Diffusion 逆向过程

• 这个过程从纯噪声数据开始，逐步去噪声以生成新的数据样本。我们希望学习一个模型 pθ(xt−1∣xt)p_\theta(\mathbf{x}_{t-1}|\mathbf{x}_t)pθ​(xt−1​∣xt​) 来近似逆转正向过程，即从 xT\mathbf{x}_TxT​ 开始逐步去噪，得到 x0\mathbf{x}_0x0​。

• 反向过程的转移概率为：

  pθ(xt−1∣xt)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ(xt,t))p_\theta(\mathbf{x}_{t-1} | \mathbf{x}_t) = \mathcal{N}(\mathbf{x}_{t-1}; \mu_\theta(\mathbf{x}_t, t), \Sigma_\theta(\mathbf{x}_t, t))pθ​(xt−1​∣xt​)=N(xt−1​;μθ​(xt​,t),Σθ​(xt​,t))

  其中， μθ\mu_\thetaμθ​ 和 Σθ\Sigma_\thetaΣθ​ 是需要通过模型训练得到的参数。

• 初始化噪声：

  • 从一个标准正态分布中采样初始噪声 xT\mathbf{x}_TxT​（例如，图像中的每个像素都是从 N(0,1)\mathcal{N}(0, 1)N(0,1) 中采样的值）。

• 逐步去噪声：

  • 对于每一步 t=T,T−1,…,1t = T, T-1, \ldots, 1t=T,T−1,…,1，根据以下公式去噪声： pθ(xt−1∣xt)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ(xt,t))p_\theta(\mathbf{x}_{t-1} | \mathbf{x}_t) = \mathcal{N}(\mathbf{x}_{t-1}; \mu_\theta(\mathbf{x}_t, t), \Sigma_\theta(\mathbf{x}_t, t))pθ​(xt−1​∣xt​)=N(xt−1​;μθ​(xt​,t),Σθ​(xt​,t))
  • 其中， μθ(xt,t)\mu_\theta(\mathbf{x}_t, t)μθ​(xt​,t) 和 Σθ(xt,t)\Sigma_\theta(\mathbf{x}_t, t)Σθ​(xt​,t) 是模型参数，需通过训练来学习。

• 生成新数据：

  • 最终得到 x0\mathbf{x}_0x0​，即生成的新数据样本。

U-Net神经网络预测噪声

神经网络需要在特定时间步长接收带噪声的图像，并返回预测的噪声。请注意，预测噪声是与输入图像具有相同大小/分辨率的张量。因此，从技术上讲，网络接受并输出相同形状的张量。那么我们可以用什么类型的神经网络来实现呢？

这里通常使用的是非常相似的自动编码器，您可能还记得典型的"深度学习入门"教程。自动编码器在编码器和解码器之间有一个所谓的"bottleneck"层。编码器首先将图像编码为一个称为"bottleneck"的较小的隐藏表示，然后解码器将该隐藏表示解码回实际图像。这迫使网络只保留bottleneck层中最重要的信息。

在模型结构方面，DDPM的作者选择了U-Net，出自（Ronneberger et al.，2015）（当时，它在医学图像分割方面取得了最先进的结果）。这个网络就像任何自动编码器一样，在中间由一个bottleneck组成，确保网络只学习最重要的信息。重要的是，它在编码器和解码器之间引入了残差连接，极大地改善了梯度流（灵感来自于（He et al., 2015））。

可以看出，U-Net模型首先对输入进行下采样（即，在空间分辨率方面使输入更小），之后执行上采样。

训练过程

训练扩散模型的目标是学习到反向扩散过程的参数，使其能够准确地将噪声转化为数据。具体步骤包括：

1. 变分推断（Variational Inference）：

   • 通过变分推断最小化正向过程和反向过程之间的差异。定义损失函数为： L(θ)=Eq(x0:T)[∑t=1TDKL(q(xt−1∣xt,x0)∣∣pθ(xt−1∣xt))]L(\theta) = \mathbb{E}_{q(\mathbf{x}_{0:T})} \left[ \sum_{t=1}^T D_{KL}(q(\mathbf{x}_{t-1}|\mathbf{x}_t, \mathbf{x}_0) || p_\theta(\mathbf{x}_{t-1}|\mathbf{x}_t)) \right]L(θ)=Eq(x0:T​)​[t=1∑T​DKL​(q(xt−1​∣xt​,x0​)∣∣pθ​(xt−1​∣xt​))]
     其中， DKLD_{KL}DKL​ 表示 Kullback-Leibler 散度，用于衡量两个概率分布之间的差异。

2. 参数优化：

   • 使用梯度下降法更新模型参数 θ\thetaθ，使其能够更好地近似逆向过程。