【密码学】密码学数学基础:剩余系

news2024/9/21 10:29:33

        不得不啃的密码学数学基础之剩余系是个啥?数学里面有好多的定义都有前置的数学概念,要想弄懂剩余系还得先说说“同余”。

一、同余

        那么“同余”有是个什么呢?在谈论“同余”之前,我们先圈定个讨论的范围。接下来讨论的都是整数集合。好了!可以正式开始介绍了。

(1)等价关系与同余

        当我们讨论整数集合上的等价关系时,“同余”是一个核心概念,而由同余关系定义的“同余类”或“剩余类”则是研究整数除法性质和模运算的基本单元。

        首先,我们需要了解什么是等价关系。在数学中,如果集合 𝐴 上的关系 ∼ 满足以下三个性质,则称 ∼ 是 𝐴 上的等价关系

  1. 自反性:对于所有 𝑎∈𝐴,有 𝑎∼𝑎
  2. 对称性:对于所有 𝑎,𝑏∈𝐴,若 𝑎∼𝑏 则 𝑏∼𝑎
  3. 传递性:对于所有 𝑎,𝑏,𝑐∈𝐴,若 𝑎∼𝑏 且 𝑏∼𝑐,则 𝑎∼𝑐

        同余关系就是整数集 𝑍 上的一种等价关系。两个整数 𝑎 和 𝑏 被称为模 𝑛 同余,如果它们被 𝑛 除后的余数相同,记作 𝑎≡𝑏 (mod 𝑛)。换句话说就是,𝑎 和 𝑏 同余模 𝑛 当且仅当 𝑛 整除 𝑎−𝑏。

(2)同余类又叫剩余类

        既然同余关系是一种等价关系,那么它自然会将整数集 𝑍 划分成不同的等价类,这些等价类就是我们所说的同余类或剩余类。给定一个正整数 𝑛,对于 𝑍 中的任意整数 𝑎,我们可以构造模 𝑛 下的同余类,记作 [𝑎]𝑛 或者简单地写作 [𝑎],其中包含所有与 𝑎 同余模 𝑛 的整数。

形式上,同余类 [𝑎] 定义为:

[𝑎]={𝑏∈𝑍∣𝑎≡𝑏 (mod 𝑛)}

        例如,考虑模 7 同余关系见下图

【我的理解】模7的剩余类[1],意思就是有哪些数除7余1,将这些数组成一个集合,记为[1]_7。所以“模7的同余类”其实可以理解为除7有共同余数的七堆数(余0余1一直到余6共七堆数)。

(3)剩余系

        在模 𝑛 同余意义下,所有可能的同余类构成了一个剩余系。更具体地说,模 𝑛 的完全剩余系是一组整数,每个整数代表了不同的同余类。最常见的是取模 𝑛 的完全剩余系为 {0,1,2,…,𝑛−1}。这个剩余系包含了所有可能的余数,即模 𝑛 同余类的代表元素。

还是拿上图,模7来举例:

        我们从七堆数里面,每堆抽出一个,合为一组。就叫做一组完全剩余系。若在每一堆数里面抽出一个数,不是随机抽,而是选出最小非负的,构成的剩余系被叫做最小非负完全剩余系。

二、完全剩余系

        上面我们见过了完全剩余系长什么样子,现在我们给完全剩余系一个严谨的数学定义:

        在整数模m的所有剩余类中各取一个代表元

a_1,a_2,...,a_m(a_i \in[i-1],i=1,2,...,m)

        则称a_1,a_2,...,a_m为模m的完全剩余系,其中完全剩余系0,1,2,...,m-1被称为最小非负完全剩余系。

        用\mathbb{Z} _m表示由m的最小非负完全剩余系集合,\mathbb{Z} _m =\{ 0,1,2...,m-1 \},在\mathbb{Z} _m中的加法、减法、乘法都是模m意义下的运算。

三、简化剩余系

        在模m的一个剩余类当中,如果有一个数与m互素,则该剩余类中所有的数均与m互素,这是称该剩余类与m互素。

(1)欧拉函数的数学定义

        与m互素的剩余类的个数称为欧拉函数,记为\varphi(m)\varphi(m)等于\mathbb{Z}_m当中与m互素的数的个数,对于任意一个素数p,有\varphi (p)=p-1

(2)简化剩余系的数学定义

        在与m互素的\varphi(m)个模m的剩余类中各取一个代表元a_1,a_2,...,a_{\varphi (m)}它们组合成的集合称为模m的一个简化剩余系。\mathbb{Z}_m中与m互素的数构成模m的一个简化剩余系,称为最小非负简化剩余系。

        举例说明简化剩余系:

        设m=12,则 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} 构成模12的完全剩余系,把其中与12互素选出来,即 {1,5,7,11} 构成模12的简化剩余系。

        再来一个例子加深理解,设m=6:

        模 6 的完整剩余系:可以是 {0,1,2,3,4,5} 或者 {−2,−1,0,1,2,3} 等。

        模 6 的简化剩余系:可以是 {1,5} 或者 {−1,5} 等,因为只有 1 和 5 与 6 互素。若指定最小非负简化剩余系,则为 {1,5}

        简化剩余系和欧拉函数是RSA算法(最广泛使用的公钥加密算法)中用于选择加解和解密指数的基础, RSA算法的公钥和私钥生成都依赖于简化剩余系的性质。

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