322. 零钱兑换
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
dp[j]凑足总额为j的方法有dp[j]个。
递推公式：凑足金额为j-coins[i]的方法有dp[j-coins[i]]个，那么只要再加上一个钱币（即一种方法），就是dp[j]的方法。dp[j] = dp[j-coins[i]]+1。所以dp[j]要取所有dp[j - coins[i]] + 1方法中最小的。
dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
初始化：考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
vector<int> dp(amount+1, INT_MAX);
dp[0] = 0;遍历顺序：外层遍历物品，内层遍历背包，本次是完全背包，所以内层是正序遍历。
举例推导dp数组：
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount+1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for(int i=0; i<coins.size(); i++){
for(int j=coins[i]; j<=amount; j++){
if(dp[j-coins[i]]!=INT_MAX){
dp[j] = min(dp[j-coins[i]]+1, dp[j]);
}
}
}
return dp[amount]==INT_MAX? -1:dp[amount];
}
};- 时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
- 空间复杂度: O(amount)
279.完全平方数
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
- 输入：n = 12
- 输出：3
- 解释：12 = 4 + 4 + 4
完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
dp[j]: 和为j的完全平方数的最小个数为dp[j]。
dp[j]递推公式：和上一题一样，dp[j]由dp[j-i^2]得出，而他比dp[j-i^2]又多了一种方式。所以dp[j]的递推公式是min(dp[j], dp[j-i^2]+1)
dp数组初始化：dp[0] = 0; 而其他因为要求最小值，所以初始为最大的。
确定遍历顺序：先背包后物品和先物品后背包都是可以的，内层需要前序遍历：
打印遍历：
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
dp[0]=0;
for(int i=0; i<=n; i++){
for(int j=1; j*j<=i;j++){//先背包后物品
if(dp[i-j*j]!= INT_MAX){
dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j]+1);
}
}
}
return dp[n];
}
};- 时间复杂度: O(n * √n)
- 空间复杂度: O(n)
139.单词拆分
给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词
这道题可以回想第131题：
for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
if (isPalindrome(s, startIndex, i)) { // 是回文子串
// 获取[startIndex,i]在s中的子串
string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
path.push_back(str);
} else { // 如果不是则直接跳过
continue;
}
backtracking(s, i + 1); // 寻找i+1为起始位置的子串
path.pop_back(); // 回溯过程，弹出本次已经添加的子串
}回溯算法的解题方法：
class Solution {
public:
bool backtracking(string s, unordered_set<string>& wordDict, int startIndex){
if(startIndex>=s.size()){
return true;
}
for(int i=startIndex; i<s.size(); i++){
string word = s.substr(startIndex, i-startIndex+1);
if(wordDict.find(word)!=wordDict.end()&&backtracking(s, wordDict, i+1)){
return true;
}
}
return false;
}
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
return backtracking(s, wordSet, 0);
}
};- 时间复杂度：O(2^n)，因为每一个单词都有两个状态，切割和不切割
- 空间复杂度：O(n)，算法递归系统调用栈的空间
但是这样会超时，所以我们还是要考虑动态规划。
1. dp[i]代表的是:字符串长度为i时，可以返回true，表示可以拆分为一个或者多个在字典中出现的单词。
2. 递推公式：如果dp[j]是true，那么dp[i-j]也一定是true。所以递推的条件是：
if（dp[j]==true && [j, i] 出现在dictionary里）则dp[i]=true；
3. 初始化：dp[0]是true，其他的都是false。
4. 确认遍历顺序：
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
而本题其实我们求的是排列数，为什么呢。 拿 s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"] 举例。
"apple", "pen" 是物品，那么我们要求 物品的组合一定是 "apple" + "pen" + "apple" 才能组成 "applepenapple"。
"apple" + "apple" + "pen" 或者 "pen" + "apple" + "apple" 是不可以的，那么我们就是强调物品之间顺序。
所以我们要先遍历背包，后遍历物品。
5. 举例推导
class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
vector<bool> dp(s.size()+1, false);
dp[0] = true;
for(int i=0; i<=s.size(); i++){
for(int j=0; j<i; j++){
string word = s.substr(j, i-j);
if(wordSet.find(word)!=wordSet.end() && dp[j]){
dp[i] = true;
}
}
}
return dp[s.size()];
}
};- 时间复杂度：O(n^3)，因为substr返回子串的副本是O(n)的复杂度（这里的n是substring的长度）从2的n次方降到了n的三次方
- 空间复杂度：O(n)
