拓扑排序——AcWing 164. 可达性统计

news2024/11/16 20:41:35

拓扑排序

定义

运用情况

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AcWing 164. 可达性统计

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拓扑排序

定义

拓扑排序（Topological Sort）是对有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG）的一种排序方式。在一个有向无环图中，拓扑排序的结果是一个线性的顶点序列，其中对于图中的每一条有向边 (u, v)，顶点 u 在序列中都会出现在顶点 v 的前面。如果一个图有多个拓扑排序，那么它不是一个唯一的排序，但所有合法的拓扑排序都符合上述规则。

运用情况

任务调度：例如，项目管理中的依赖关系，先决条件的课程计划，构建系统中的依赖项解析。
编译器优化：在编译过程中确定指令的最优执行顺序。
数据流分析：在程序分析中，为了确定变量的使用和定义顺序。
资源分配：在资源有限的情况下，确定资源的使用顺序。

注意事项

图的合法性：图必须是一个有向无环图（DAG）。如果图中含有环，则拓扑排序不可能成功。
入度的概念：入度是指指向一个顶点的边的数量。拓扑排序的算法通常会从入度为0的顶点开始。
排序非唯一性：对于同一个DAG，可能存在多个合法的拓扑排序序列。
算法效率：拓扑排序的时间复杂度通常是 O(V+E)，其中 V 是顶点数，E 是边数。

解题思路

构建图：使用邻接表或邻接矩阵表示图的数据结构。
计算入度：对于每个顶点，计算其入度（即有多少条边指向它）。
选择起始点：从入度为0的顶点开始，因为它们没有任何前置条件。
递归或迭代：将入度为0的顶点加入结果序列，然后将其从图中移除（或标记为已处理），并减少与之相连的其他顶点的入度。重复此过程直到图中没有剩余的顶点或无法找到入度为0的顶点。
检查结果：如果所有顶点都被处理且结果序列的长度等于顶点总数，则排序成功。如果有顶点未被处理或结果序列长度小于顶点总数，则图中存在环，排序失败。

一个常见的算法实现是使用队列或栈进行迭代处理，每次从队列或栈中取出入度为0的顶点，更新其邻接顶点的入度，并重复这一过程，直到队列或栈为空。

AcWing 164. 可达性统计

题目描述

164. 可达性统计 - AcWing题库

运行代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <bitset>

using namespace std;

const int N = 30010;

int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N], q[N];
bitset<N> f[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void topsort()
{
    bool inQueue[N] = {false};  // 标记是否已经入队
    int hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (!d[i])
        {
            q[++tt] = i;
            inQueue[i] = true;  // 标记入队
        }
    }

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh++];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            if (--d[e[i]] == 0 &&!inQueue[e[i]])  // 未入队才入队
            {
                q[++tt] = e[i];
                inQueue[e[i]] = true;  // 标记入队
            }
        }
    }
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    if (!(cin >> n >> m))  // 输入错误处理
    {
        cerr << "Invalid input. Please enter valid integers." << endl;
        return 1;
    }
    while (m--)
    {
        int a, b;
        if (!(cin >> a >> b))  // 输入错误处理
        {
            cerr << "Invalid input. Please enter valid integers for the edge." << endl;
            return 1;
        }
        add(a, b);
        d[b]++;
    }

    topsort();

    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        int j = q[i];
        f[j][j] = 1;
        for (int k = h[j]; ~k; k = ne[k])
            f[j] |= f[e[k]];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << f[i].count() << endl;

    return 0;
}

代码思路

图的表示：使用邻接表存储图的结构，其中 h, e, ne 分别表示头指针数组、边的目标节点和边的下一个节点。
入度计算：d 数组用来存储每个节点的入度（即有多少条边指向该节点）。
拓扑排序：topsort 函数实现了拓扑排序算法，首先将所有入度为0的节点入队，然后循环处理队列中的节点，当处理完一个节点后，将它的所有后继节点的入度减一，如果某个后继节点的入度变为0，则将它入队，直到队列为空。
可达性统计：在拓扑排序完成后，f 数组是一个位向量数组，用于存储从每个节点出发可以到达的所有节点。从最后一个节点开始向前回溯，对于每个节点 j，初始化 f[j][j] = 1 表示自身可达，然后对于 j 的每一个后继节点 k，将 f[j] 与 f[k] 进行按位或运算，从而合并所有后继节点的可达信息。
输出结果：最后，遍历 f 数组，输出从每个节点出发可以到达的节点数。