前言

        OJ测试中最烦人的结果莫过于TLE(Time Limit Exceed 超时)和MLE(Mempry Limit Exceed超内存）了，在递归和搜索题里面看见这两货就烦。

目录

前言

时间复杂度 

        时间复杂度概念

时间复杂度的表示法

        时间复杂度OJ测试要求

         时间复杂度例举

剪枝

                  1.可行性剪枝

2.最优性剪枝

3.记忆化搜索

4.搜索顺序剪枝

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时间复杂度 

        时间复杂度概念

        C++时间复杂度是指算法在处理数据时所需要的计算时间。在C++中，常见的时间复杂度包括常数级别、对数级别、线性级别、平方级别、立方级别等。其中，常数级别是最快的，而立方级别是最慢的。具体来说：
常数级别：只需要一次计算即可完成，如赋值操作等。
对数级别：需要不断缩小问题规模，通常用于二分查找等算法。
线性级别：随着问题规模增加，所需计算时间也呈线性增长，如遍历一个数组等。
平方级别：通常是嵌套循环的形式，所需计算时间随着问题规模的增加呈平方级别增长。
立方级别：通常是三层嵌套循环的形式，所需计算时间随着问题规模的增加呈立方级别增长。
当然，在实际应用中，我们需要选择合适的算法来降低时间复杂度。例如，可以使用哈希表来加速查找操作，或者使用动态规划来减少重复计算等。在竞赛中，一般算机一秒能执行x次汁算。

时间复杂度的表示法

对于表示时间复杂度，我们可以使用O()表示法来表示时间复杂度,O(n)表示程序运行n次汁算。判断时，只关注最高次项。但执行的数量不是不确定的都填1
比如下面的例子：

O(c) = O(1)     (c表示常数)
O(2n+1) = O(n)
O(n²+n+1) = O(n²)
O(3n³+1) = O(n³)

注意：符号 O(c)表示算法或函数具有恒定的时间复杂度，这意味着无论输入大小如何，它都需要固定的时间来执行。 

        时间复杂度OJ测试要求

        为了避免TLE,OJ中要减少时间复杂度，一般来讲(1000ms) n的数据范围大致如下

时间复杂度	n算法数据范围
​​​​​​​	​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​
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​​​​​​​	​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​

         时间复杂度例举

O(1)     一般的输入输出，变量的定义 ，时间复杂度都为O(1)

printf("Hello,Wold");
int a=3,b=20;
return 0; //时间复杂度为O(1)

O(n)     一般的循环 ，时间复杂度都为O(n)

O(n^2)     一般的二重循环 ，时间复杂度都为O(n^2)

int n=123456;
for(int i=0;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=i;j++) 
        cout<<"# ";
    cout<<endl;
}  
return 0; //时间复杂度为O(n^2)

O(n^3)     一般的三重循环 ，时间复杂度都为O(n^3)

O(2^n)     指数阶，如递归实现的斐波那契数列 ，时间复杂度都为O(2^n)

O(log n)     对数阶，如二分查找 ，时间复杂度都为O(log n) 

O(n log n)     线性对数阶，例如快速排序，时间复杂度都为O(log n) 

剪枝

搜索是OI之路上，人人必会的强大算法。自古便有名言：“暴力进省队”(实际上,很多考试你打好所有暴力就可以拿到不错的分数)。在考场上，搜索常常是与正解的对拍板子（当然有时搜索就是正解），且一般搜索都会有20~30分。而想要写好搜索，剪枝必不可少(有时出题人不会给纯暴力分)。

what's 剪枝？

常用的搜索有Dfs和Bfs。Bfs的剪枝通常就是判重，因为一般Bfs寻找的是步数最少，重复的话必定不会在之前的情况前产生最优解。深搜，它的进程近似一颗树(通常叫Dfs树)。而剪枝就是一种生动的比喻：把不会产生答案的，或不必要的枝条“剪掉”。剪枝的关键就在于剪枝的判断：什么枝该剪，什么枝不该剪，在什么地方减。常用的剪枝有：可行性剪枝、最优性剪枝、记忆化搜索、搜索顺序剪枝。

1.可行性剪枝

就是将搜索树里面不能走的或者走了会走到死胡同的枝条进行减去。

在很多情况下，并不是搜索树中的所有枝条都能通向我们需要的结果，很多的枝条实际上只是一些死胡同。如果我们能够在刚刚进入这样的死胡同的时候，就能够判断出来并立即剪枝，程序的效率往往会得到提高。

在程序上就是：如果当前条件不合法就不再继续搜索，直接return。这是非常好理解的剪枝，搜索初学者都能轻松地掌握，而且也很好想。一般的搜索都会加上。

2.最优性剪枝

一般要自己构造一个估值函数，由该估值函数计算上界和下界，最优性剪枝又是如何进行的呢？当我们处在搜索树的枝条上时，可以通过某种方法估算出该枝条上的所有解的评价函数的上界，即所谓估价函数。显然，大于当前保存的优度的下界，是该枝条上存在最优解的必要条件，否则就一定可以剪枝。所以，最优性剪枝也可以称为“上下界剪枝”。同时，我们也可以看到，最优性剪枝的核心问题就是估价函数的建立。一般实现：在搜索取和最大值时，如果后面的全部取最大仍然不比当前答案大就可以返回。在搜和最小时同理，可以预处理后缀最大/最小和进行快速查询。

3.记忆化搜索

记忆化搜索其实很像动态规划（DP）。

它的关键是：如果对于相同情况下必定答案相同，就可以把这个情况的答案值存储下来，以后再次搜索到这种情况时就可以直接调用。还有就是不能搜出环来，不能互相依赖。

4.搜索顺序剪枝

在一些迷宫题，网格题，或者其他搜索中可以贪心的题，搜索顺序显得十分重要。我经常听见有人说：“从左边搜会TLE，从右边搜就AC了”之类的语句。其实在迷宫、网格类的题目中，以左上->右下为例，右下左上就明显比左上右下优秀。在一些推断搜索题中，从已知信息最多的地方开始搜索显然更加优秀。在一些题中，先搜某个值大的，再搜某个值小的(比如树的度数，产生答案的预计)，速度明显会比乱搜更快。

搜索的复杂度明显讲不清，这种剪枝自然是能加就加。