一、数字波束形成

数字波束形成（Digital Beam Forming，DBF) 技术，是针对阵列天线，利用阵列天线的孔径，通过数字信号处理在期望的方向形成接收波束。
DBF的物理意义：虽然单个天线的方向图是全向的，但对阵列多个接收通道的信号，利用数字处理方法，对某一方向的入射信号，补偿由于传感器在空间位置不同而引起的传播波程差导致的相位差，实现同相叠加，从而实现该方向的最大能量接收，完成该方向上的波束形成，来接收有用的期望信号，这种把阵列接收的方向增益聚集在一个指定的方向上，相当于形成了一个“波束”。
可以通过改变权值，使得波束指向不同的方向，并实现波束的扫描。通过多通道的并行处理也可以同时形成多个波束，还可以选择合适的窗函数来降低副瓣电平。

1.1 DBF原理

对于 $N$ 个间距为 $d$ 的阵元组成的接收阵列，考虑 $p$ 个远场的窄带信号入射到该阵列上，假设阵元数和通道数相等，即各阵元接收到信号后经过各自的传输信道送到信号处理器，则接收信号矢量可表示为：
$$X(t)=A\cdot S(t)+N(t)（1-1）$$
其中， $X(t)=[x_1(t),x_2(t),......,x_N(t){]}^T$ ，为 $N\times 1$ 维阵列接收快拍信号矢量，；$S(t)=[s_1(t),s_2(t),......,s_p(t){]}^T$ ，为 $p\times 1$ 维信号矢量； $N(t)$ 为 $N\times 1$ 维噪声信号矢量； $A=[a({\theta }_1),a({\theta }_2),......,a({\theta }_p)]$ 为 $N\times p$ 维导向矢量矩阵。

第 $i$ 个信号的导向矢量为：
$$a({\theta }_i)=[1,e^{j2\pi dsin{\theta }_i/\lambda },...,e^{j2\pi (N-1)dsin{\theta }_i/\lambda }{]}^T$$
在DBF过程中，假设信号的到达方向为 $\theta$ ，则在该方向的导向矢量为：
$$a(\theta )=[1,e^{j2\pi dsin\theta /\lambda },...,e^{j2\pi (N-1)dsin\theta /\lambda }{]}^T$$
由式(1-1)知，对于单一信号源，有 $X(t)=A\cdot S(t)+N(t)$，波束形成技术与时间滤波类似，即对采样数据 $X(t)$ 进行加权求和，加权后的输出信号为：
$$y(t)=W^H\cdot X(t)=W^H\cdot a(\theta )\cdot s(t)+W^H\cdot N(t)（1-2）$$
式中， $W=[W_1,W_2,,...,W_N{]}^T$ ，为DBF的权矢量。

当 $W=a({\theta }_0)$ ，即对方向为 ${\theta }_0$ 的信号进行同相相加时，输出 $y(t)$ 的模值最大。该过程就是利用了波束形成技术实现对方向为 ${\theta }_0$ 的选择，即空域滤波。

等距线阵空域滤波的结构如图1所示，

图1 等距线阵空域滤波结构图
对一个阵元数 $N=16$ 等距线阵，阵元间距为半波长，假设波束指向分别为-30°，0°，30°，经过DBF处理后，在指定的方向形成主瓣，其余方向形成旁瓣，数字波束形成方向图如图2所示。


图2 数字波束形成方向图
由图2可看出，未加窗时，阵列的波束形成方向图的副瓣电平为-13.15dB，采用对权矢量进行加窗处理，可以降低副瓣电平，例如加泰勒窗后，副瓣电平降低为-30.06dB，但其主瓣的3dB宽度为8.2°，相比未加窗处理的主瓣展宽了1.8°。

接收天线的阵元数不同，数字波束形成方向图也有较大区别，以波束指向为0°，未加窗处理为例，取阵元数分别为 $N=8、N=16、N=32$ 时，得到数字波束形成方向图如图3所示。

由图3可以看出，当阵元数成倍数增加时，其方向图的3dB宽度成倍数减小；旁瓣数量会随着阵元数的增加而增加；副瓣电平均相同。

1.2 工程应用实现方式

1.2.1 预先存储权矢量

采用公式(1-2)进行DBF处理需要 $N^2$ 次复数乘法运算，当波束扫描的角度间隔较小，即波位数量较多时，计算量是极大的，不利于实时计算。
因此实际工程应用时，要设置合理的波束扫描间隔，并充分挖掘硬件的性能(并行计算)，可以通过提前计算出权矢量的数值，预先存储在文件中，在使用时进行导入即可计算。

1.2.2 利用DFT/FFT实现DBF

在不同的方向进行DBF处理时需要采用不同的权矢量，对方向 $\theta$ 的权矢量为：
$$W(\theta )=[1,e^{-j2\pi dsin\theta /\lambda },...,e^{-j2\pi dsin\theta (N-1)/\lambda }{]}^T（1-3）$$
将DBF处理搜索的波位的角度按下式进行量化：
$$sin{\theta }_k=\frac{\lambda k}{Nd}，k=0,1,...,N-1（1-4）$$
则得到的权矢量为 $W({\theta }_k)$ ：
$$W({\theta }_k)=[1,e^{-j\frac{2\pi }{N}k},...,e^{-j\frac{2\pi }{N}(N-1)k}{]}^T（1-3）$$
由式(1-3)可知，DBF的权矢量 $W({\theta }_k)$ 为离散傅里叶变换(DFT)的旋转因子 $W_N^{nk}$ ，因此可以利用DFT或者FFT实现DBF处理，同时得到N个波位的DBF结果。

采用快速傅里叶变换(FFT)可以减少DFT的计算时间复杂度，其复数乘法的运算次数为 $(N/2)logN$

案例：
设有32个阵元组成间距为半波长的等距线阵，同一距离单元的两个目标的方位角分别为-20°和30°，对接收信号利用128点FFT进行DBF处理，得到的结果如下：

x坐标代表角度维，每个点的角度精度为Ag_point =0.8952，仿真计算得到的目标角度为：A1=-Ag_point *(23-1)=-19.6954°，A2=Ag_point *(128-97) =27.75°。与实际设定角度存在一定范围的差异，由角度分辨率有关。

二、DBF应用

2.1 通道间相干积累

2.2 测量目标角度

三、MATLAB代码

1.DBF方向图

clc;
clear;
close all;

%% DBF方向图
N = 16;
d_lambda = 0.5;
theta = (-90:0.1:90);

% 1、不同波束指向
theta0 = -30;
pattern = Antenna_Pattern(N,d_lambda,theta0,theta);
figure;
plot(theta,20*log10(pattern/max(pattern)),'b-');
hold on;

theta0 = 0;
pattern = Antenna_Pattern(N,d_lambda,theta0,theta);
plot(theta,20*log10(pattern/max(pattern)),'r-.');
theta0 = 30;
pattern = Antenna_Pattern(N,d_lambda,theta0,theta);
plot(theta,20*log10(pattern/max(pattern)),'m--');
xlabel('方位/°');ylabel('归一化方向图/dB');xlim([-90 90]);ylim([-50 0]);
legend('\theta=-30','\theta=0','\theta=30');
title(['阵元数N=',num2str(N)]);

% 2、固定波束指向时，对比加窗前后效果
theta0 = 0;
pattern = Antenna_Pattern(N,d_lambda,theta0,theta);
figure;
plot(theta,20*log10(pattern/max(pattern)),'b-');
hold on;

select = 3;
pattern = Antenna_Pattern(N,d_lambda,theta0,theta,select);
plot(theta,20*log10(pattern/max(pattern)),'k--');
xlabel('方位/°');ylabel('归一化方向图/dB');xlim([-90 90]);ylim([-50 0]);
legend('未加窗','加泰勒窗');
title(['阵元数N=',num2str(N)]);

% 3、固定波束指向时，对比不同阵元数的波束形成方向图
theta0 = 0;
N = 8;
pattern = Antenna_Pattern(N,d_lambda,theta0,theta);
figure;
plot(theta,20*log10(pattern/max(pattern)),'b-');
hold on;

N = 16;
pattern = Antenna_Pattern(N,d_lambda,theta0,theta);
plot(theta,20*log10(pattern/max(pattern)),'r-.');
N = 32;
pattern = Antenna_Pattern(N,d_lambda,theta0,theta);
plot(theta,20*log10(pattern/max(pattern)),'k--');
xlabel('方位/°');ylabel('归一化方向图/dB');xlim([-90 90]);ylim([-50 0]);
legend('N = 8','N = 16','N = 32');
title('波束指向0度，未加窗');

2.雷达系统仿真模型

clc;
clear;
close all;

%%  雷达系统仿真模型
setParameter();     %  设置雷达系统参数

global para;
% 设置目标参数
set_TarInfo.tarNum = 2;
set_TarInfo.tar_R0 = [500,500];                 % 目标距离
set_TarInfo.tar_V0 = [0,0];                             % 目标速度
set_TarInfo.tar_Ag = [-20,30];                         % 目标角度
set_TarInfo.Rcs = [1,5];                                % 目标rcs
set_TarInfo.SNR = 10;                                           % 信噪比

% 雷达发射和接收信号模型
para.Tx_Num = 1;        % 发射阵元数目
para.Rx_Num = 32;        % 接收阵元数目
global NumChirp;
NumChirp = 1;
rawData = RadarSigModel_MultiCh(set_TarInfo);

%% 雷达信号处理
global NumADC;

fs = para.fs;
u = para.u;
c = para.c;
Rx_Num = para.Rx_Num;

Nfft1 = 2^ceil(log2(NumADC));                           % 距离维FFT点数
Nfft3 = 128;                                             % 通道间FFT点数
R_point = (fs/Nfft1)*c/(2*u);                           % 距离点精度
Ag_point = 2/Nfft3*180/pi;                              

% 距离维FFT
win1 = hamming(NumADC);       % 加汉明窗
fft_Data = zeros(Nfft1,Rx_Num);
for ii = 1:Rx_Num
	fft_Data(:,ii) = fft(rawData(:,:,ii).*win1,Nfft1);
end

% 角度维FFT
win3 = hamming(Rx_Num);       % 加汉明窗
fft3_Data = zeros(Nfft1,Nfft3);
for jj = 1:Nfft1
	fft3_Data(jj,:) = fft(fft_Data(jj,:).*win3',Nfft3);
end

figure;
mesh(mag2db(abs(fft3_Data)));xlabel('角度维');ylabel('距离维');