大气热力学（5）—

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

文章目录

5.1 气块的概念
5.2 热力学第一定律的几种微分形式
5.3 干绝热过程
5.4 干绝热递减率（干绝热直减率）
5.5 湿绝热过程
- 5.5.1 潜热
- 5.5.2 假绝热过程
5.6 湿绝热递减率（湿绝热直减率）
5.7 从 T-lnP 图看干绝热线和湿绝热线

5.1 气块的概念

为了研究大气运动的热力性质，需要研究一个无限小尺度的气块活动，对该气块作如下假设：

气块与周围大气没有热量交换，所以当它作上升或下降运动时，其温度作绝热变化；
气块作升降运动时，其压强与周围大气的压强始终保持相等；
环境空气处于流体静力平衡状态；
气块运动十分缓慢，所以其动能与气块的总能量相比可以忽略。

这个简单、理想化的模型有助于我们理解大气垂直运动的某些物理过程。

5.2 热力学第一定律的几种微分形式

我们知道，热力学第一定律可写为如下微分形式：

$\mathrm{d} Q = \mathrm{d} E + \mathrm{d} W = \mathrm{d} E + p \mathrm{d} V$

现在求 $\mathrm{d} E$ 。我们写出定容比热的定义式（注意定容过程有 $\mathrm{d} W = 0$ ，于是有 $\mathrm{d}Q = \mathrm{d}E$ ）：

$C_{V, m} = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}T} = \frac{i}{2} R$

整理得：

$\mathrm{d}E = \frac{i}{2} R \mathrm{d}T = C_{V, m} \mathrm{d}T$

代入到上式得：

$\mathrm{d} Q = C_{V, m} \mathrm{d}T + p \mathrm{d} V$

这就是热力学第一定律的第二种微分形式。

由迈耶公式 $C_{p,m} = C_{V,m} + R$ ，上式又可以写为：

$\mathrm{d} Q = C_{p, m} \mathrm{d}T + p \mathrm{d} V - R \mathrm{d}T$

对气体状态方程 $p V = RT$ 两边微分得：

$p\mathrm{d}V + V \mathrm{d}p = R \mathrm{d}T$

代入上式得：

$\mathrm{d} Q = C_{p, m} \mathrm{d}T - V \mathrm{d}p$

这就是热力学第一定律的第三种微分形式，下一节的绝热过程推导需要用到。

对于运动中的单位质量（ $\mathrm{kg}$ ）的气块，注意到流体静力学方程为 $\mathrm{d} p = - g \rho \mathrm{d}z$ ，如果我们把热力学第一定律与重力位势 $\mathrm{d} \Phi = g \mathrm{d}z$ 联系起来，那么可以得到如下推导：

$\begin{aligned} \mathrm{d} Q &= C_{p, m} \mathrm{d}T - V \mathrm{d}p \\ &= C_{p, m} \mathrm{d}T + V \cdot g \rho \mathrm{d}z \\ &= C_{p, m} \mathrm{d}T + \rho V \mathrm{d} \Phi \\ &= C_{p, m} \mathrm{d}T + m \mathrm{d} \Phi \\ &= C_{p, m} \mathrm{d}T + \mathrm{d} \Phi \end{aligned}$

这就是运动中单位气块的热力学表达式。

5.3 干绝热过程

自然界中存在的各种各样的物质，绝大多数都是以固、液、气三种聚集态存在着。为了描述物质的不同聚集态，而用“相”来表示物质的固、液、气三种形态的“相貌”。不同相之间的相互转变，称为相变或称物态变化。

大气中进行的物理过程，通常伴有不同形式的能量转换。在能量转换过程中，空气的状态要发生改变。在气象学上，任一气块与外界之间无热量交换时的状态变化过程，叫做绝热过程。在大气中，作垂直运动的气块，其状态变化通常接近于绝热过程。当升、降气块内部既没有发生水相变化，又没有与外界交换热量的过程，称作干绝热过程。

对于一团单位质量的气体，其绝热过程的特征为： $\mathrm{d} Q = 0$ ，热力学第一定律可写为：

$\mathrm{d} Q = C_{p, m} \mathrm{d}T - V \mathrm{d}p = 0 \\ 移项得：C_{p, m} \mathrm{d}T = V \mathrm{d}p$

再由状态方程 $p V = RT$ 得到 $\frac{RT}{p}$ ，代入上式可得：

$C_{p,m} \mathrm{d}T = \frac{RT}{p} \mathrm{d}p \\ 整理得：\frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{R}{C_{p,m}} \frac{\mathrm{d}p}{p}$

设干绝热过程中，气块的初态为 $p_0, T_0)$ ，终态为 $(p, T)$ ，对方程两边进行积分得：

$\begin{aligned} \int_{T_0}^{T} \frac{\mathrm{d}T}{T} &= \frac{R}{C_{p,m}} \int_{p_0}^{p} \frac{\mathrm{d}p}{p} \\ \ln \frac{T}{T_0} &= \frac{R}{C_{p,m}} \ln \frac{p}{p_0} \\ \frac{T}{T_0} &= \bigg( \frac{p}{p_0} \bigg) ^{\frac{R}{C_{p,m}}} \end{aligned}$

因为 $\frac{R}{C_{p,m}} = 0.286$ ，所以：

$\frac{T}{T_0} = \bigg( \frac{p}{p_0} \bigg) ^{0.286}$

上式称为干绝热方程，又称为泊松方程。

5.4 干绝热递减率（干绝热直减率）

由：

$\mathrm{d} Q = C_{p, m} \mathrm{d}T + \mathrm{d} \Phi = 0$

移项并上下同除以 $\mathrm{d} z$ 得：

$C_{p, m} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} = - \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} z}$

整理得到：

$-\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} = \frac{g}{C_{p, m}}$

定义下式为干绝热递减率（用 $\gamma_d$ 表示）：

$\gamma_d = - \bigg( \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} \bigg)_{干空气块}$

将 $\ \mathrm{m/s^2}$ 和 $C_{p,m} = 1004 \ \mathrm{J/(℃ \cdot kg)}$ 代入可求得干绝热递减率为 $\gamma_d = 0.98 \ ℃ / 100 \mathrm{m} = 0.98 \ \mathrm{K} / 100 \mathrm{m}$ 。实际工作中取 $\gamma_d = 1 \ ℃ / 100 \mathrm{m}$ ，这就是说，在干绝热过程中，气块每上升 100m，温度约下降 1℃。

【注意】 $\gamma_d$ 与 $\gamma$ （气温直减率）的含义是完全不同的。 $\gamma_d$ 是干空气在绝热上升过程中气块本身的降温率，它近似于常数；而 $\gamma$ 是表示周围大气的温度随高度的分布情况。大气中随地-气系统之间热量交换的变化， $\gamma$ 可有不同数值，即可以大于、小于或等于 $\gamma_d$ 。

干绝热递减率还有另外一种计算方法。先由热力学第一定律的微分形式得：

$C_{p, m} \mathrm{d}T = RT \frac{\mathrm{d}p}{p}$

两边同除以 $\mathrm{d}z$ 得：

$C_{p, m} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} = RT \frac{\mathrm{d}p}{p \mathrm{d} z}$

引入定义式 $\gamma_d = - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z}$ 和静力学方程 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -g \rho$ 可得：

$C_{p, m} \gamma_d = RT \frac{g \rho}{p}$

整理得：

$\gamma_d = RT \frac{g \rho}{p C_{p, m}}$

利用气体状态方程 $\rho RT$ 得到：

$\gamma_d = RT \frac{g \rho}{\rho RT C_{p, m}} = \frac{g}{C_{p, m}}$

这与我们第一次推导的结果一致。

5.5 湿绝热过程

5.5.1 潜热

在讨论是绝热过程前，需要先引入潜热的定义：指物质在等温等压情况下，从一个相变化到另一个相吸收或放出的热量。潜热分为两种：

蒸发潜热：蒸发过程中，由于具有较大动能的水分子脱出液面，使液面温度降低。如果保持其温度不变，必须从外界吸收热量，这部分热量即为蒸发潜热。
凝结潜热：与蒸发过程相反的是凝结过程。当水汽发生凝结时，这部分潜热又会全部释放出来，这就是凝结潜热。

对于绝热过程中的干空气和湿空气的潜热情况：

干空气：气块没有液态水和固态水，在气块的绝热过程中水不发生相变，所以没有产生潜热；
湿空气：气块中存在液态水和固态水，在气块的绝热过程中水发生相变，产生了潜热。更具体地讲，饱和湿空气绝热上升时，如果只是膨胀降温，亦应每上升 100m 减温 1℃。但是，水汽已经饱和了，就要因冷却而发生凝结，同时释放凝结潜热，加热气块。

显然，湿空气的绝热过程要比干空气复杂许多，因为凝结的水分可能会脱离气块，也可能随气块一起运动，不妨考虑两种极端情况：

可逆湿绝热过程：水汽相变产生的水成物不脱离气块，随气块上升或下降，所释放的潜热全部保留在气块内部。这时无论气块上升或下降，温度都按湿绝热递减率而变化，这是与干绝热过程一样的可逆过程。
假绝热过程：水汽相变产生的水成物全部脱离气块，此时气块下降时已不再是饱和湿空气，于是气块就按干绝热变化，这是一种不可逆过程。注意这时所释放的潜热仍留在气块中。

实际大气的湿绝热过程往往处于两者之间。不过，从热力学角度来看，这两者差别很小（作上升运动时，干绝热递减率与湿绝热递减率非常接近），我们一般用假绝热过程代替湿饱和气块的绝热过程。

5.5.2 假绝热过程

对于湿空气，设 1g 饱和湿空气中含有水汽 $q_s$ g，绝热上升，凝结了 $\mathrm{d} q_s$ g 水汽，所释放出的潜热被定义为：

$\mathrm{d} Q = -L \mathrm{d} q_s$

式中 $L$ 表示水汽的凝结潜热，单位为 $\mathrm{J/kg}$ 。上式右边的负号表示当有水汽凝结时得到热量，因为这时水汽减少， $\mathrm{d} q_s < 0$ ，则 $\mathrm{d} Q > 0$ ；当水分蒸发时消耗热量，这时 $\mathrm{d} q_s > 0$ ，则 $\mathrm{d} Q < 0$ 。

现在我们把上式代入到热力学第一定律中，可得：

$\mathrm{d} q_s = C_{p, m} \mathrm{d}T - RT \frac{\mathrm{d}p}{p}$

由于这个方程中只包含湿空气相变所产生的热量，而没有考虑其它的热量，所以上式又称为湿绝热方程。饱和湿空气上升时，方程又可写为：

$\mathrm{d}T = \frac{RT}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d}p}{p} - \frac{L}{C_{p, m}} \mathrm{d} q_s$

上式说明，饱和湿空气上升时，温度随高度的变化是由两种作用引起的：

由气压变化引起，例如上升时气压减小， $\mathrm{d} p < 0$ ，这使得温度降低；
由水汽凝结时释放潜热引起，上升时水汽凝结， $\mathrm{d} q_s < 0$ ，造成温度升高。

因此，凝结作用可抵消一部分由于气压降低而引起的温度降低。有水汽凝结时，空气上升所引起的降温将比没有水汽凝结时要缓慢。

5.6 湿绝热递减率（湿绝热直减率）

与干绝热递减率类似，定义下式为湿绝热递减率（用 $\gamma_m$ 表示）：

$\gamma_m = - \bigg( \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} \bigg)_{湿空气块}$

对湿绝热方程两边同除以 $\mathrm{d}z$ 得：

$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{RT}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d}p}{p \mathrm{d}z} - \frac{L \mathrm{d} q_s}{C_{p, m} \mathrm{d}z}$

引入定义式 $\gamma_m = - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z}$ 和静力学方程 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -g \rho$ 可得：

$\gamma_m = \frac{RT}{C_{p, m}} \frac{g \rho}{p} + \frac{L \mathrm{d} q_s}{C_{p, m} \mathrm{d}z}$

利用气体状态方程 $\rho RT$ 得到：

$\gamma_m = \frac{g}{C_{p, m}} + \frac{L}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z}$

即：

$\gamma_m = \gamma_d + \frac{L}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z}$

当饱和湿空气上升时， $\mathrm{d}z > 0，\mathrm{d} q_s < 0$ ，则有 $\frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z} < 0$ ；当饱和湿空气下降时， $\mathrm{d}z < 0，\mathrm{d} q_s > 0$ ，则有 $\frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z} < 0$ 。所以， $\gamma_m$ 总是小于 $\gamma_d$ 。

需要注意的是，由于 $\frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z}$ 是气压和温度的函数，所以 $\gamma_m$ 不是常数，而是气压和温度的函数。平均而言， $\gamma_m = 0.5 ℃/100\mathrm{m}$ 。

5.7 从 T-lnP 图看干绝热线和湿绝热线

这里先简单介绍一下 T-lnP 图是什么东西。

T-lnP 图，即温度-对数压力图，是一种在单站天气预报中使用的热力学图。其横坐标是温度（ T ），以摄氏度（℃）为单位，每隔 10 ℃ 标出度数值，从图左端 -85 ℃ （188K）起向右递增，直至 40 ℃ （313K）；纵坐标是气压（对数标尺），以百帕（hpa）为单位，从基准线 1000 hpa 向上递减，至 200 hpa。纵坐标可以简单理解为大气高度。注意！因为采用了对数尺度，所以纵坐标每 1 hpa 都不是等间距的。T-lnP 图反映了大气的许多热力学性质。

在这里插入图片描述

上图是干绝热线和湿绝热线的对比，使用了 T-lnP 图绘制。这幅图可以简单理解为：初始温度和气压相同的干空气块和湿空气块，在作上升运动时，气块内部的温度变化。干空气块上升时，温度是线性变化地下降；而湿空气上升时，温度先是非线性变化地下降，到达某处后再线性变化地下降。具体来说，湿空气经历的是如下过程：

湿空气从 1000 hPa 高度抬升，进行湿绝热过程，水汽凝结释放潜热；
由于我们视该绝热过程为假绝热过程，湿空气到达某处后已经没有水汽了，实质已变成干空气团，继续上升时会进行干绝热过程。

为什么干绝热线和湿绝热线会是这样的结果？因为干绝热递减率 $\gamma_d = \frac{g}{C_{p, m}}$ 是一个常数，故呈一直线；而湿绝热递减率 $\gamma_m = \gamma_d + \frac{L}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z}$ 总是比 $\gamma_d$ 小，所以在干绝热线的右方。而且，下部因为温度高， $\gamma_m$ 小，上部温度低， $\gamma_m$ 大，这样形成上陡下缓的一条曲线。到高层水汽凝结愈来愈多，空气中水汽含量便愈来愈少， $\gamma_m$ 愈来愈和 $\gamma_d$ 相接近，使干、湿绝热线近于平行。