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定义

平衡二叉树（Balanced Binary Tree），简称平衡树（AVL树）
树上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过 1
结点的平衡因子 = 左子树高 - 右子树高
平衡因子只可能是：$0,|1|$

插入

每次调整的对象都是“最小不平衡子树 ”
在插入操作中，只要将最小不平衡子树调整平衡，则其他祖先结点都会恢复平衡

调整最小不平衡子树

LL：在A的左孩子的左子树中插入导致不平衡

目标：

1. 恢复平衡
2. 保持二叉排序树特性

方法：
LL平衡旋转（右单旋转）。由于在结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新节点，A的平衡因子由 1 增至 2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。将A的左孩子B向右上旋转代替A称为根结点，将A结点向右下旋转称为B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树

RR：在A的右孩子的右子树中插入导致不平衡

左旋

LL 和 RR 的代码思路

右旋：
实现 f 向右下旋转，p 向右上旋转，其中 f 是 爹，p 为左孩子， gf 为 f 他爹

1. f->lchild = p->rchild
2. p->rchild = f
3. gf->lchild/rchild = p

左旋：
实现 f 向左下旋转，p 向左上旋转，其中 f 是 爹，p 为左孩子， gf 为 f 他爹

1. f->rchild = p->lchild
2. p->lchild = f
3. gf->lchild/rchild = p

LR：在A的左孩子的右子树中插入导致不平衡

pass

RL：在A的右孩子的左子树中插入导致不平衡

pass

练习

1

2

3

查找效率分析

若树高为 h，最坏情况下，查找一个关键字最多需要对比 h 次，即查找操作时间复杂度不可能超过 $O(h)$

平衡二叉树最大深度为$O(lo{g}_{2}n)$ ，平均查找长度/查找的时间复杂度为 $O(logn)$

插入和删除

插入：

• 插入新节点后，要保持二叉排序树的特性不变（左 < 中 < 右）
• 若插入新节点导致不平衡，则需要调整平衡

删除：

• 删除节点后，要保持二叉排序树的特性不变（左 < 中 < 右）
• 若删除节点导致不平衡，则需要调整平衡

删除操作具体步骤：

1. 删除节点
   • 若删除的节点是叶子结点，直接删
   • 若删除的节点只有一个子树，用子树顶替删除位置
   • 若删除的节点有两棵子树，用前驱（或后继）结点顶替，并转换为对前驱（后继）结点的删除
2. 一路向上找到最小不平衡子树，找不到就结束
3. 找最小不平衡子树下，“个头”最高的儿子、孙子
4. 根据孙子的位置，调整平衡（LL、RR、LR、RL）
   • 孙子在LL：儿子右单旋
   • 孙子在RR：儿子左单旋
   • 孙子在LR：孙子先左旋，再右旋
   • 孙子在RL：孙子先右旋，再左旋
5. 如果不平衡向上传导，继续②
   • 对最小不平衡子树的旋转可能导致树变矮，从而导致上层祖先不平衡