文章目录
- 菲涅尔积分简介
- 复数域的菲涅尔积分
- 羊角螺线
菲涅尔积分简介
菲涅尔积分一般被写为 S ( x ) S(x) S(x)和 C ( x ) C(x) C(x)，定义为
S ( x ) = ∫ 0 x sin ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 3 ( 2 n + 1 ) ! ( 4 n + 3 ) C ( x ) = ∫ 0 x cos ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 1 ( 2 n ) ! ( 4 n + 1 ) S(x)=\int^x_0\sin(t^2)\text dt=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}\\ C(x)=\int^x_0\cos(t^2)\text dt=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}\\ S(x)=∫0xsin(t2)dt=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!(4n+3)x4n+3C(x)=∫0xcos(t2)dt=n=0∑∞(−1)n(2n)!(4n+1)x4n+1
接下来在scipy中调用fresnel，并绘制其曲线
import numpy as np
from scipy.special as ss
xs = np.arange(-500,500)/100
s, c = ss.fresnel(xs)
plt.plot(xs, s)
plt.plot(xs, c)
plt.show()
效果为
复数域的菲涅尔积分
scipy中的fresnel的定义域可拓展到复数域，则当其自变量为复数时，其函数图像如下
绘图代码为
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(2,3,1,projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, np.real(c))
ax.set_title("real(c)")
ax = fig.add_subplot(2,3,2,projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, np.imag(c))
ax.set_title("imag(c)")
ax = fig.add_subplot(2,3,3,projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, np.abs(c))
ax.set_title("abs(c)")
ax = fig.add_subplot(2,3,4,projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, np.real(s))
ax.set_title("real(s)")
ax = fig.add_subplot(2,3,5,projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, np.imag(s))
ax.set_title("imag(s)")
ax = fig.add_subplot(2,3,6,projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, np.abs(s))
ax.set_title("abs(s)")
plt.show()
也可以绘制其实部的为彩图，
xs, ys = np.indices([300,300])/100-1.5
s, c = ss.fresnel(xs + 1j*ys)
fig = plt.figure()
fig.add_subplot(1,2,1)
plt.imshow(np.real(c), cmap=plt.cm.prism)
plt.axis('off')
fig.add_subplot(1,2,2)
plt.imshow(np.real(s), cmap=plt.cm.prism)
plt.axis('off')
plt.show()
出图如下
羊角螺线
Fresnel积分但看上去似乎平平无奇，但二者一经结合，就会出现神奇的效果，这里甚至不需额外的操作，只需将二者之间的关系一一对应起来即可
plt.scatter(np.real(s), np.real(c), marker='.')
plt.show()
可以得到一个好像翅膀的图像
如果将实数的菲涅尔积分的s与c分量的对应关系画出，则会得到所谓的羊角螺线
绘图代码为
xs = np.arange(-500,500)/100
s, c = ss.fresnel(xs)
plt.plot(s,c)
plt.grid()
plt.show()
