LeetCode-刷题记录-前缀和合集（本篇blog会持续更新哦~）

news2024/11/17 15:36:23

一、前缀和（Prefix Sum）算法概述

前缀和算法通过预先计算数组的累加和，可以在常数时间内回答多个区间和相关的查询问题，是解决子数组和问题中的重要工具。

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它的基本思想是通过预先计算和存储数组的前缀和，可以在 O(1) 的时间复杂度内计算任意子数组的和。

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定义：
- 对于数组 nums，其前缀和 prefix[i] 定义为从数组起始位置到第 i 个元素的累加和。

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具体公式：prefix[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i]。

计算方法：
- 首先，创建一个额外的数组或哈希表，用来存储每个位置的前缀和。
- 通过一次遍历数组，依次计算并填充这个数组或哈希表。

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应用：
- 快速计算子数组和：通过前缀和，可以快速计算任意子数组的和。例如，子数组 nums[l...r] 的和可以通过 prefix[r] - prefix[l-1] 来计算，其中 l 和 r 分别是子数组的左右边界。

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解决相关问题：例如，最大子数组和、和为特定值的子数组个数等问题，都可以通过前缀和算法高效解决。

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二、前缀和习题合集

1. LeetCode 930 和相同的二元子数组

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思路：

假设原数组的前缀和数组为 sum，且子数组 (i,j] 的区间和为 goal，那么 sum[j]−sum[i]=goal。因此我们可以枚举 j ，每次查询满足该等式的 i 的数量。

用哈希表记录每一种前缀和出现的次数，假设我们当前枚举到元素 nums[j]，我们只需要查询哈希表中元素 sum[j]−goal 的数量即可，这些元素的数量即对应了以当前 j 值为右边界的满足条件的子数组的数量。

pre[j] - pre[i]= goal —> pre[i] = pre[j] - goal
如果存在前缀和为 pre[j] - goal(也就是pre[i])
说明从某个位置 j 到当前位置 i 的子数组和为 goal

最后这些元素的总数量即为所有和为 goal 的子数组数量。

代码：


class Solution {
    public int numSubarraysWithSum(int[] nums, int goal) {
        int n = nums.length; // 数组的长度
        Map<Integer,Integer> map = new HashMap<>(); // 使用哈希表来记录前缀和的出现次数
        int pre_J = 0; // 初始前缀和为0
        int ans = 0; // 计数器，用来记录符合条件的子数组个数
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            map.put(preJ, map.getOrDefault(pre_J, 0) + 1); // 更新前缀和为 preJ 的出现次数
            pre_J += nums[i]; // 计算当前位置的前缀和
            //pre[j] - pre[i]= goal 
            //pre[i] = pre[j] - goal
            // 计算满足条件的子数组个数
            // 如果存在前缀和为 pre[j] - goal(也就是pre[i])
            //说明从某个位置 j 到当前位置 i 的子数组和为 goal
            ans += map.getOrDefault(pre_J - goal, 0);
        }
        
        return ans; // 返回符合条件的子数组个数
    }
}

2. LeetCode 560 和为K的子数组

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这里咋一看好像是可以用滑动窗口哈，但是发现数据里有负数。因为nums[i]可以小于0，也就是说右指针j向后移1位不能保证区间会增大，左指针i向后移1位也不能保证区间和会减小。
思路：同上一题类似

前缀和 + 哈希

class Solution {
    public static int subarraySum(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length; // 获取数组长度
        Map<Integer,Integer> map = new HashMap<>(); // 创建哈希表，用于存储前缀和及其出现次数
        int sum = 0; // 初始化前缀和为0
        int ans = 0; // 初始化结果为0
        map.put(sum,1); // 将初始的前缀和0放入哈希表，并设其出现次数为1
        // 遍历数组
        for(int num : nums){
            sum += num; // 计算当前位置的前缀和
            // 如果哈希表中存在前缀和为sum-k的项，则说明存在和为k的子数组 sum - (sum-k) = k
            if(map.containsKey(sum - k)){
                ans += map.get(sum - k); // 更新结果，累加前缀和为sum-k的子数组数量
            }
            map.put(sum, map.getOrDefault(sum, 0) + 1); // 更新哈希表，将当前前缀和放入，并更新出现次数
        }
        return ans; // 返回结果
    }
}

初始时，将前缀和为 0 放入哈希表 map 中，表示在初始状态下存在一个前缀和为 0 的情况，出现次数为 1。
如果 map 中存在 sum - k，则说明从之前的某个位置到当前位置的子数组的和为 k。这是因为 sum - (sum - k) = k。
如果存在这样的前缀和，则将该前缀和的出现次数累加到 ans 中。

3. LeetCode 523 连续的子数组和

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这里要用到数学知识——同余定理

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前缀和的定义： 设 preSum[i] 表示 nums 数组从 0 到 i 的元素之和。
- 如果存在一个子数组 nums[j..i] （j < i），其和是 k 的倍数，则 preSum[i] - preSum[j-1] 必须是 k 的倍数。
利用余数的性质(同余定理)：
- 如果 preSum[i] 和 preSum[j-1] 对 k 取余得到相同的结果，即 (preSum[i] - preSum[j-1]) % k == 0，则存在这样的子数组。
- a%k = b%k ,则 （a-b）%k =0 满足条件

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使用哈希表记录余数： 使用哈希表来记录每个余数第一次出现的位置。

class Solution {
    public boolean checkSubarraySum(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length;
        int[] pre = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            pre[i] = pre[i - 1] + nums[i - 1]; // 计算前缀和
        }
        Set<Integer> set = new HashSet<>();
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            set.add(pre[i - 2] % k); // 将前缀和前两项的同余结果加入集合
            if (set.contains(pre[i] % k)) return true; // 如果当前前缀和对k取模的结果在集合中已经存在，说明找到了符合条件的子数组
        }
        return false; // 如果遍历完没有找到符合条件的子数组，返回false
    }
}