在数学建模中，我们拿到的数据经常会有缺失值，在缺失值不是很多的情况下，我们在数据预处理阶段会采用插值方法来将数据补齐，之后再开始我们的建模。
目录
1.Matlab 实现分段线性插值
2.拉格朗日插值多项式
3.牛顿（Newton）插值
编辑 4.埃尔米特(Hermite)插值
1.Matlab 实现分段线性插值
Matlab 中有现成的一维插值函数 interp1。
y=interp1(x0,y0,x,'method')
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为： 'nearest' 最近项插值， 'linear' 线性插值 'spline' 逐段 3 次样条插值， 'cubic' 保凹凸性 3 次插值。
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
示例：
% 已知的点（x坐标和对应的y坐标）
x = [1, 3, 5, 7, 9];
y = [2, 4, 6, 8, 10];
xi = 1:0.5:9; % 从1到9，步长为0.5
% 使用interp1函数进行线性插值
yi = interp1(x, y, xi, 'linear');
plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');
legend('原始点', '线性插值');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('线性插值示例');
grid on;
disp('原始点y:');
disp(y);
disp('插值后yi:');
disp(yi);
2.拉格朗日插值多项式
首先构造一组基函数：
上式称为n 次 Lagrange 插值多项式。
Matlab 中没有现成的 Lagrange 插值函数，必须编写一个 M 文件实现 Lagrange 插值。 设n 个节点数据以数组 x0, y0输入（注意 Matlat 的数组下标从 1 开始），m 个插值 点以数组 x 输入，输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件：
function y=lagrange(x0,y0,x);
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
代入数据：
x0 = [1, 3, 5, 7, 9];
y0 = [2, 4, 6, 8, 10];
x = 1:0.5:9;
y=lagrange(x0,y0,x);
disp('原始点y0:');
disp(y0);
disp('插值后y:');
disp(y);输出结果：
3.牛顿（Newton）插值
运行程序：
function yi = newtonInterpolation(x, y, xi)
n = length(x); % 已知数据点的数量
if n ~= length(y)
error('x和y的长度必须相等');
end
% 构建差分表
diffTable = zeros(n, n);
diffTable(:, 1) = y(:); % 第一列是y值
for j = 2:n
for i = 1:n-j+1
diffTable(i, j) = (diffTable(i+1, j-1) - diffTable(i, j-1)) / (x(i+j-1) - x(i));
end
end
if ~isvector(xi)
yi = diffTable(1, 1); % 插值多项式的常数项
for k = 2:n
p = 1;
for j = 1:k-1
p = p * (xi - x(j));
end
yi = yi + diffTable(1, k) * p;
end
else
yi = zeros(size(xi));
for i = 1:length(xi)
yi_temp = diffTable(1, 1); % 插值多项式的常数项
for k = 2:n
p = 1;
for j = 1:k-1
p = p * (xi(i) - x(j));
end
yi_temp = yi_temp + diffTable(1, k) * p;
end
yi(i) = yi_temp;
end
end
end代入数据：
x = [0, 1, 2, 3, 4];
y = [1, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8];
xi =0:0.5:5;
yi = newtonInterpolation(x, y, xi);
% 绘图
plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');
legend('原始数据点', '牛顿插值');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('牛顿插值示例');
grid on;
disp('原始点y:');
disp(y);
disp('插值后yi:');
disp(yi);运行结果：
4.埃尔米特(Hermite)插值
如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是 Hermite 插值问题。
运行程序：
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
n=length(x0);m=length(x);
for k=1:m
yy=0.0;
for i=1:n
h=1.0;
a=0.0;
for j=1:n
if j~=i
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
end
end
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
end
y(k)=yy;
end 代入数据：
x0=[0.1, 0.2,0.3,0.4,0.5];
y0=[1,2,3,4,5];
y1=[2,4,6,8,10];
xi =0:0.5:5;
yi = hermite(x0, y0,y1, xi);
% 绘图
plot(x0, y0, 'o', xi, yi, '-');
legend('原始数据点', 'hermite插值');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
disp('原始点y0:');
disp(y0);
disp('插值后yi:');
disp(yi);运行结果：
