1. 练习题目

1.1 题目描述

有2个不相等的实数 $a$、$b$，$b>a$。
问：当$x$取何值，或$x$满足什么条件时，$\left|x-a\right|+\left|x-b\right|$最小。证明你的结论。
本题是面向初一下学期的学生出的一道思考题，题目难度为基础级。

1.2 分析

这道题非常简单，只要掌握了以下两个思路，不难得出结论并给出证明：

• 绝对值的几何意义
  在数轴上，对任意一点$a$，其绝对值$\left|a\right|$等于点到数轴原点$O$之间的距离。
  
  对于数轴上两点$a$和$x$，$\left|x-a\right|$等于点$a$和点$x$之间的距离。
  

• 分段讨论：涉及到绝对值的题目，经常需要按照不同的取值区间分段讨论。这是最基本的分析方法之一。

2 答题

2.1 定义

将$a$、$b$、$x$三点表示在实数轴上，令$x$与$a$之间的距离为$m$，$x$与$b$之间的距离为$n$，$a$与$b$之间的距离为$k$。即：
$$\begin{array}{rl}\left|x-a\right|& =m\\ \left|x-b\right|& =n\\ \left|b-a\right|& =b-a=k\end{array}$$

2.2 分段讨论

$x$点可能存在$3$种情况，分别是：

• $x$点在$a$点左侧；
• $x$点在$a$点和$b$点之间；
• $x$点在$b$点右侧。

下面分别针对这$3$种情况进行讨论。

2.2.1 情况1：$x$点在$a$点左侧（$x<a,m=\left|x-a\right|$且$m>0$）

如图2-1所示，当$x$点在$a$点左侧时，$n=m+k$

则有
$$\left|x-a\right|+\left|x-b\right|=m+n=m+(m+k)=2m+k$$

2.2.2 情况2：$x$点在$a$点和$b$点之间，含$x$点与$a$点或$b$点重合的情况（$x\ge a$且$x\le b$）

如图2-2所示，当$x$点在$a$点和$b$点之间时，$k=m+n=b-a$

则有
$$\left|x-a\right|+\left|x-b\right|=m+n=k$$

2.2.3 情况3：$x$点在$b$点右侧（$x>b,n=\left|x-b\right|$且$n>0$）

如图2-3所示，当$x$点在b$点右侧时， $m=n+k$

则有
$$\left|x-a\right|+\left|x-b\right|=m+n=(n+k)+n=2n+k$$

2.3 结论

综上所述，有：

由于$m>0$、$n>0$，所以：当且仅当 $x\ge a$ 且 $x\le b$ 时，$\left|x-a\right|+\left|x-b\right|$取得最小值$k$（即$b-a$）。