回忆线性回归

• for continuous:y = xw+b
• for probability output:y=σ(xw+b)
  • σ:sigmoid or logistic

线性回归是简单的线性模型，输入是x，网络参数是w和b，输出是连续的y的值

如何把它转化为分类问题?加了sigmoid函数，输出的值不再是一个连续的实数范围，而是一个在[0,1]范围的值，等效于probability,因此可以理解为分类问题

二分类问题

• interpret network as $f:x\to p(y|x;\theta )$
• output∈[0,1]
• which is exactly what logistic function comes in!

首先之前的线性回归模型，是x到一个y这样的映射，即$f:x\to y$

但是对于logistic regression（逻辑回归是分类问题）而言，是给x求y=1的这样的probability，θ的参数就是等于[w,b]这样的参数，所以输出的值就变成了0和1

两类问题的本质区别

• For regression：

  • Goal：pred=y
  • Approach：minimize dist(pred,y)

• For classification:

  • Goal:maximize benchmark,e.g. accuracy
  • Approach1:minimize $\mathrm{dist}(p_{\theta }(y|x),p_r(y|x))$
  • Approach1:minimize$divergence(p_{\theta }(y|x),p_r(y|x))$

对于regression问题，预测值关注的是y，目标是预测的值要与真实值非常接近，方法也是minimize该差距

对于classfication问题，目标是accuracy或F1-score这种指标很高（例如准确率），做法并不需要直接优化accuracy，这一点是classification问题与regression最本质的区别，会用一个general proxy objective（如两个分布的边界或差异，这是一些数学的概念，还可以用cross entropy）

从概念上来说，给出x对y的一个probability，θ参数上给出一个probability和真实给定x得到y的probability，r是real的意思，就是真实的probability，希望这两个分布越近越好

即最终要测试的目标和训练的目标其实是不一样的

为什么训练的目标和测试的目标的目标是不一样的？

也就是说为什么不能直接的maximize accuracy

直接maximize accuracy会有两个问题，accuracy是预测对的数量 / 总的数量（例如有5个数字，预测对了3个accuracy就是3/5=60%）

第一种情况：
一个二分类问题中模型权重调整对准确率没有影响的情况。让我们逐步分析这个问题：

1. 阈值决策： 在二分类问题中，模型的输出通常通过一个阈值来转换为类别标签。如果预测概率小于或等于0.5，模型预测为类别0；如果大于0.5，预测为类别1。
2. 权重调整： 通过调整模型权重𝑤，使得某个样本的预测概率从0.4增加到0.45。尽管预测概率更接近真实标签的概率，但由于没有超过0.5的阈值，最终的类别预测仍然是0。
3. 准确率不变： 由于预测结果没有改变，即使概率更接近真实值，准确率（accuracy）仍然保持不变。准确率是预测正确的样本数与总样本数的比例，在这个例子中，如果只有3个样本预测正确，准确率就是60%。
4. 梯度为零： 在使用梯度下降算法优化模型时，如果预测结果没有改变，即模型输出对于权重的微小变化不敏感，那么在权重𝑤附近的梯度可能是零。这意味着在这个点上，权重的进一步调整不会影响预测结果，因此模型不会更新这个权重。
5. 优化问题： 这个问题揭示了一个优化上的挑战：即使模型的预测概率接近真实分布，但如果不能越过决策阈值，就无法反映在准确率上，从而导致梯度为零，模型学习停滞。

此时x变了，y没变$\frac{\partial y}{\partial x}=0$

第二种情况：如果预测的是0.4999，这里w只动一点点变成了0.501大于0.5了，但是这个值本来是预测错的，现在反而预测对了，那accuracy就变成了4/5=80%，w可能动了0.0001，accurcacy增加了0.2，这样0.2/0.0001就会出现不连续的情况，就是x动一点点，accuracy可能会发生一个巨大的变化，会出现一个比较大的gradient

1.准确率的不连续性： 在二分类问题中，准确率是衡量模型预测正确性的一种离散指标。当模型的预测概率非常接近决策阈值（如0.5）时，即使是模型权重微小的调整，也可能引起预测结果的突变。

2. 微小权重变化导致准确率的显著变化： 例如，如果模型对某个样本的初始预测概率为0.4999，权重的微小调整使其变为0.501，超过了0.5的阈值。这导致该样本的预测结果从错误变为正确，从而显著提高了准确率，如从60%（3/5）增加到80%（4/5）。
3. 准确率的极端变化： 权重的微小变化引起准确率的显著增加，这在数学上可以类比为梯度非常大。在这种情况下，如果将准确率的变化率视为“梯度”，那么这个“梯度”是非常大的，因为准确率的变化（0.2）与权重变化（0.0001）的比值非常高。

所以在优化的时候就会发现要么就是gradient不连续会造成一个梯度爆炸的情况，要么就是training非常不稳定，这也解释了为什么不能使用accuracy来训练，要是用corss entropy来训练

logistic regression是用于classification问题的，为什么叫regression？

因为你的loss虽然用了softmax或者用了把probability变成了一个0到1的问题，但是如果跟原来的1做一个均方差，把这个作为loss去优化还是有regression的感觉，就是希望probability跟1越近越好，就是regression，把probability看作一个连续的输出值，因此如果使用MSE的话就把它叫做regression，是因为当时没有使用cross entropy

如果loss使用的是cross entropy，就可以理解为classification的问题，会使得$p_{\theta }(y|x)$~$p_r(y|x)$

二分类做法

多分类做法
使用softmax来实现所有分类相加的概率为1