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冗余路径, Redundant Paths G

题目描述

为了从 $F$ 个草场中的一个走到另一个，奶牛们有时不得不路过一些她们讨厌的可怕的树。

奶牛们已经厌倦了被迫走某一条路，所以她们想建一些新路，使每一对草场之间都会至少有两条相互分离的路径，这样她们就有多一些选择。

每对草场之间已经有至少一条路径。

给出所有 $R$ 条双向路的描述，每条路连接了两个不同的草场，请计算最少的新建道路的数量，路径由若干道路首尾相连而成。

两条路径相互分离，是指两条路径没有一条重合的道路。

但是，两条分离的路径上可以有一些相同的草场。

对于同一对草场之间，可能已经有两条不同的道路，你也可以在它们之间再建一条道路，作为另一条不同的道路。

输入格式

第 $1$ 行输入 $F$ 和 $R$。

接下来 $R$ 行，每行输入两个整数，表示两个草场，它们之间有一条道路。

输出格式

输出一个整数，表示最少的需要新建的道路数。

样例 #1

样例输入 #1

7 7
1 2
2 3
3 4
2 5
4 5
5 6
5 7

样例输出 #1

2

提示

【数据范围】

$1\le F\le 5000$,
$F-1\le R\le 10000$

【题目来源】

算法思想

根据题目描述，要在一个无向的连通图中，建一些新路，使每一对草场之间都会至少有两条相互分离的路径，计算最少的新建道路的数量。

先来分析一下测试样例，如下图所示。

其中蓝色虚线的边，$(1,2),(5,6),(5,7)$，删除其中一条后，都会将图分裂成两个不相连通的子图，这样的边又被成为割边，或桥。

而绿色虚线中的子图 { 2 , 3 , 4 , 5 } \{2,3,4,5\} {2,3,4,5}之间都有两条“相互分离的路径”（不存在相同边的路径）。在这个子图中是不存在桥的，这样的子图又被成为边双连通分量。

要解决这个问题之前，先来了解一下相关概念。

相关概念

割点

给定无向连通图$G=(V,E)$：
若对于$u\in V$，从图中删去边节点$u$以及所有与$u$关联的边之后，$G$分裂成两个或两个以上不相连的子图，则称$u$为$G$的割点。

桥

给定无向连通图$G=(V,E)$：
若对于$e\in E$，从图中删去边$e$之后，$G$分裂成两个不相连的子图，则称$e$为$G$的桥或割边。

无向图的双连通分量

若一张无向连通图不存在割点，则成它为点双连通图。若一张无向连通图不存在桥，则称它为边双连通图。

无向图的极大点双连通子图被称为点双连通分量，记为$\text{v-DCC}$，Vertex Double Connected Component；无向图的极大边双连通子图被称为边双连通分量，记为$\text{e-DCC}$，Edge Double Connected Component。

Tarjan算法

Tarjan算法能够在线性时间内求出无向图的割点与桥，进一步可以求出无向图的双连通分量。

Tarjan算法基于无向图的深度优先遍历，并引入了时间戳的概念。

时间戳

在图的深度优先遍历过程中，按照每个节点第一次被访问的时间顺序，依次将$N$个节点标记为$1\sim N$，该标记就被称为时间戳，记为$dfn[u]$。

搜索树

在无向连通图中任选一个节点出发进行深度优先遍历，每个点只访问一次。所有发生递归的边$(u,v)$，构成一棵树，被称为无向连通图的搜索树。如下图所示，其中节点和绿色的边构成了一棵搜索树。

追溯值

除了时间戳之外，Tarjan算法还引入了一个追溯值$low[u]$。设子树$subtree(u)$表示搜索树中以$u$为根的子树。$low[u]$表示为以下节点的时间戳的最小值：

1. $subtree(u)$中的节点
2. 通过$1$条不在搜索树上的边，能够到达$subtree(u)$的节点

如上图所示，其中节点编号为时间戳。 s u b t r e e ( 2 ) = { 2 , 3 , 4 , 5 } subtree(2)=\{2,3,4,5\} subtree(2)={2,3,4,5}，由于节点$1$通过不在搜索树上的边$1\to 5$能够到达$subtree(2)$，所以$low[2]=1$

为了计算$low[u]$，首先将low[u] = dfn[u] = ++timestamp，然后考虑从$u$出发的每条边$(u,v)$：

• 若在搜索树上，$u$是$v$的父结点，则令 low[u] = min(low[u], low[v])
• 若无向边$(u,v)$不是搜索树上的边，则令 low[u] = min(low[u], dfn[v])

下图括号里的数值标注了每个节点的追溯值$low$：

割边（桥）判断法

无向边$(u,v)$是桥，当且仅当搜索树上存在$u$的一个子节点$v$满足：$dfn[u]<low[v]$

根据定义，$dfn[u]<low[v]$说明从$subtree(v)$出发，在不经过$(u,v)$这条边的前提下，不管走那条边都无法到达$u$或者比$u$更早访问的节点。这样的话，若把$(u,v)$删除，则$subtree(v)$就形成了一个封闭的连通块，与节点$u$没有边相连，图断开成立两部分。因此$(u,v)$是割边（桥）。

下图中的两条割边用虚线标识：

不难发现，桥一定是搜索树种的边，一个简单环中的边一定都不是桥。

需要注意的是，在求一张无向图中所有的割边时，因为深度优先遍历的是无向图，所以从每个节点$u$出发，总能访问到它的父结点$fa$。根据追溯值$low$的计算方法，$(u,fa)$属于搜索树上的边，且$fa$不是$u$的子节点，所以不能用$fa$的时间戳来更新$low[u]$。

但是如果只记录每个节点的父节点，会无法处理重边的情况——当$u$与$fa$之间有多条边时，$(u,fa)$一定不是桥。在这些重边中，只有一条算是搜索树上的边，其它重边都不算。故有重边时，$dfn[fa]$能用来更新$low[u]$。

一个好的解决方案是：将记录$fa$改为记录递归进入每个节点的边的编号$from$。若沿着编号为$from$的边递归进入了节点$u$，则忽略从$u$出发相对于$from$的反向边。

算法实现

• 基于上述分析，可以通过Tarjan求出图中所有的桥边，同时也能求出图中的边双连通分量。
• 如果将每个边双连通分量缩成一个点，原图就变成一棵树，桥就是树的边。
  
• 然后只需将在树中所有叶子节点间添加边，将树变成一个边双连通分量，就能保证整个图中任意两点之间都至少有两条“相互分离的路径”。如下图所示：
  

由于叶子节点的度都为$1$，因此只需要统计处度为$1$的节点个数$cnt$，最终答案为$\lceil \frac{cnt}{2}\rceil$。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5005, M = 40005;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int n, m;
int dfn[N], low[N], timestamp, stk[N], top, dcc_cnt, id[N], d[M];
bool bridge[M]; //标记是否为桥（割边）
void add(int a, int b)  // 添加一条边a->b
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
//from表示进入节点u的边
void tarjan(int u, int from) 
{
    dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
    stk[++ top] = u;
    for(int i = h[u]; ~ i; i = ne[i])
    {
        int v = e[i];
        if(!dfn[v]) //v点没有访问，则边i是搜索树上的边
        {
            tarjan(v, i);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if(dfn[u] < low[v]) //v无法回到u，说明当前边是桥
                bridge[i] = bridge[i ^ 1] = true; //将正向边、反向边标记为桥
        }
        else //边i不是搜索树上的边
        { 
        	if(i != (from ^ 1)) //边i不是from的反向边
            	low[u] = min(low[u], dfn[v]); 
        }
    }
    if(dfn[u] == low[u]) //u是双连通分量的最高点
    {
        //取出该双连通分量中的所有点进行标记
        ++ dcc_cnt;
        int v;
        do {
          v = stk[top --];
          id[v] = dcc_cnt;
        } while(u != v);
    }
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m --)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }
    tarjan(1, -1); //每对草场之间已经有至少一条路径，是连通的，因此从顶点1出发即可
    //遍历每条边
    for(int i =  0; i < idx; i ++)
    {
        if(bridge[i]) //如果是桥
            d[id[e[i]]] ++; //给桥的两个顶点所在的双连通分量的度数增加1
    }
    int cnt = 0; //统计叶子节点的个数，即度为1的节点个数
    for(int i = 1; i <= dcc_cnt; i ++)
    {
        if(d[i] == 1) cnt ++;
    }
    cout << (cnt + 1) / 2 << endl;
}