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引用：参考博客链接

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1. 理论分析

根据论文中提供的公式可知是在$Q$和$K$进行匹配并除以$\sqrt{d}$ 后加上了相对位置偏执$B$。

$$\begin{array}{rl}& Attention(Q,K,V)=Softmax(\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d}}+B)V\end{array}$$

    如下图，假设输入的feature map高宽都为2，那么首先我们可以构建出每个像素的绝对位置（左下方的矩阵），对于每个像素的绝对位置是使用行号和列号表示的。比如蓝色的像素对应的是第0行第0列所以绝对位置索引是(0,0)，接下来再看看相对位置索引。首先看下蓝色的像素，在蓝色像素使用q与所有像素k进行匹配过程中，是以蓝色像素为参考点。然后用蓝色像素的绝对位置索引与其他位置索引进行相减，就得到其他位置相对蓝色像素的相对位置索引。例如黄色像素的绝对位置索引是(0,1)，则它相对蓝色像素的相对位置索引为$(0,0)-(0,1)=(0,-1)$ 。那么同理可以得到其他位置相对蓝色像素的相对位置索引矩阵。同样，也能得到相对黄色，红色以及绿色像素的相对位置索引矩阵。接下来将每个相对位置索引矩阵按行展平，并拼接在一起可以得到下面的4x4矩阵 。

对应源代码为：

import torch
import torch.nn as  nn
from timm.models.layers import trunc_normal_

window_size = [2,2]
num_heads = 3

# get pair-wise relative position index for each token inside the window
coords_h = torch.arange(window_size[0])
coords_w = torch.arange(window_size[1])
coords = torch.stack(torch.meshgrid([coords_h, coords_w])) # 绝对位置索引

coords_flatten = torch.flatten(coords, 1)  # 2, Wh*Ww
relative_coords = coords_flatten[:, :, None] - coords_flatten[:, None, :]  # 2, Wh*Ww, Wh*Ww
relative_coords = relative_coords.permute(1, 2, 0).contiguous()  # Wh*Ww, Wh*Ww, 2

    请注意，这里描述的一直是相对位置索引，并不是相对位置偏执参数。因为后面我们会根据相对位置索引去取对应的参数。比如说黄色像素是在蓝色像素的右边，所以相对蓝色像素的相对位置索引为(0,−1)。绿色像素是在红色像素的右边，所以相对红色像素的相对位置索引为(0,−1)。可以发现这两者的相对位置索引都是(0,−1)，所以他们使用的相对位置偏执参数都是一样的。

    其实讲到这基本已经讲完了，但在源码中作者为了方便把二维索引给转成了一维索引。具体这么转的呢，有人肯定想到，简单啊直接把行、列索引相加不就变一维了吗？比如上面的相对位置索引中有(0,−1)和(−1,0)在二维的相对位置索引中明显是代表不同的位置，但如果简单相加都等于-1那不就出问题了吗？接下来我们看看源码中是怎么做的。首先在原始的相对位置索引上加上$(M-1)$ ( $M$为窗口的大小，在本示例中 $M$=2)，加上之后索引中就不会有负数了。
    

对应源代码为：

relative_coords[:, :, 0] += window_size[0] - 1  # shift to start from 0
relative_coords[:, :, 1] += window_size[1] - 1

    
接着将所有的行标都乘上2M-1。

    
对应源代码为：

relative_coords[:, :, 0] *= 2 * window_size[1] - 1

最后将行标和列标进行相加。这样即保证了相对位置关系，而且不会出现上述0 + ( − 1 ) = ( − 1 ) + 0 0+(-1)=(-1)+00+(−1)=(−1)+0的问题了，是不是很神奇。

relative_position_index = relative_coords.sum(-1)

    刚刚上面也说了，之前计算的是相对位置索引，并不是相对位置偏执参数。真正使用到的可训练参数$\hat{B}$ 是保存在relative position bias table表里的，这个表的长度是等于$(2M-1)\times (2M-1)$的。那么上述公式中的相对位置偏执参数$B$是根据上面的相对位置索引表根据查relative position bias table表得到的，如下图所示。

对应源代码为：

'''
relative_position_bias_table:
	其shape=((2 * window_size[0] - 1) * (2 * window_size[1] - 1), num_heads))
'''
relative_position_bias_table = nn.Parameter(torch.zeros((2 * window_size[0] - 1) * (2 * window_size[1] - 1), num_heads))
trunc_normal_(relative_position_bias_table, std=.02)

'''
index:
	虽然shape=(window_size[0] * window_size[1], window_size[0] * window_size[1]),
	但是只有(2 * window_size[0] - 1) * (2 * window_size[1] - 1)个不同的元素。
	作为索引，正好能一一对应relative_position_bias_table中的元素
'''
index = relative_position_index.view(-1)
relative_position_bias = relative_position_bias_table[index] # index的每一个不同的元素对应relative_position_bias_table中一个值

relative_position_bias = relative_position_bias.view(window_size[0] * window_size[1], window_size[0] * window_size[1], -1)
relative_position_bias = relative_position_bias.permute(2, 0, 1).contiguous()  # nH, Wh*Ww, Wh*Ww

2. 完整代码

import torch
import torch.nn as  nn
from timm.models.layers import trunc_normal_

window_size = [2,2]
num_heads = 3

# get pair-wise relative position index for each token inside the window
coords_h = torch.arange(window_size[0])
coords_w = torch.arange(window_size[1])
coords = torch.stack(torch.meshgrid([coords_h, coords_w]))  # # 绝对位置索引 # 2, Wh, Ww
coords_flatten = torch.flatten(coords, 1)  # 2, Wh*Ww
relative_coords = coords_flatten[:, :, None] - coords_flatten[:, None, :]  # 2, Wh*Ww, Wh*Ww
relative_coords_temp = relative_coords.numpy()
relative_coords = relative_coords.permute(1, 2, 0).contiguous()  # Wh*Ww, Wh*Ww, 2
relative_coords[:, :, 0] += window_size[0] - 1  # shift to start from 0
relative_coords[:, :, 1] += window_size[1] - 1

relative_coords[:, :, 0] *= 2 * window_size[1] - 1

relative_position_index = relative_coords.sum(-1)

relative_position_bias_table = nn.Parameter(torch.zeros((2 * window_size[0] - 1) * (2 * window_size[1] - 1), num_heads))
trunc_normal_(relative_position_bias_table, std=.02)

print('relative_position_bias_table:',relative_position_bias_table.shape)
print(relative_position_index.shape)

index = relative_position_index.view(-1)
print('index:',index.shape)
relative_position_bias = relative_position_bias_table[index]
print('relative_position_bias_Noreshape:',relative_position_bias.shape)

relative_position_bias = relative_position_bias.view(window_size[0] * window_size[1], window_size[0] * window_size[1], -1)

relative_position_bias = relative_position_bias.permute(2, 0, 1).contiguous()  # nH, Wh*Ww, Wh*Ww

print('relative_position_bias:',relative_position_bias.shape)