2-4 Softmax 回归的从零开始实现

就像我们从零开始实现线性回归一样，我们认为softmax回归也是重要的基础，因此应该知道实现softmax回归的细节。本节我们将使用刚刚在2-3节中引入的Fashion-MNIST数据集，并设置数据迭代器的批量大小为256。

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256 # 每次随机读取256张图片
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size) # 返回训练集的iter迭代器和测试集的iter迭代器

初始化模型参数

和之前线性回归的例子一样，这里的每个样本都将用固定长度的向量表示。原始数据集中的每个样本都是 $28 \times 28$ 的图像。本节将展平每个图像，把它们看作长度为 $784$ 的向量（对于softmax回归而言，我的输入需要是一个向量）。在后面的章节中，我们将讨论能够利用图像空间结构的特征，但现在我们暂时只把每个像素位置看作一个特征。(拉长以后，会损失掉很多空间信息)

回想一下，在softmax回归中，我们的输出与类别一样多。因为我们的数据集有 $10$ 个类别，所以网络输出维度为 $10$ 。因此，权重将构成一个 $784 \times 10$ 的矩阵，偏置将构成一个 $\times 10$ 的行向量(联系softmax回归那里的图和公式例子来理解)。与线性回归一样，我们将使用正态分布初始化我们的权重 $W$ ，偏置初始化为 $0$ 。

num_inputs = 784  # softmax的输入是长为784的行向量
num_outputs = 10  # 模型输出的维度为10

W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
# 将权重初始化成一个高斯随机分布的值，均值为0，方差为0.01，行数为输入的个数，列数为输出的个数，requires_grad=True表示需要计算梯度
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)
# 对每一个输出，都需要一个偏移，所以偏移是一个长为10的向量，同样，我们需要计算梯度

定义softmax操作

在实现softmax回归模型之前，我们简要回顾一下sum运算符如何沿着张量中的特定维度工作。如前所述，给定一个矩阵 $X$ ，我们可以对所有元素求和（默认情况下）。也可以只求同一个轴上的元素，即同一列（轴 $0$ ）或同一行（轴 $1$ ）。如果 $X$ 是一个形状为 $(2, 3)$ 的张量，我们对列进行求和，则结果将是一个具有形状 $(3,)$ 的向量。当调用sum运算符时，我们可以指定保持在原始张量的轴数，而不折叠求和的维度。这将产生一个具有形状 $(1, 3)$ 的二维张量。

X = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True)
# 按照维度0来求和，那就是把我的形状shape中的第0号元素从2变成了1
# 按照维度1来求和，那就是把我的形状shape中第一个元素变成1，那么它就变成了一个2*1的列向量
# keepdim=True 表示还是一个2维的矩阵
# X.sum(0, keepdim=True) 按行求和
# X.sum(1, keepdim=True) 按列求和

在这里插入图片描述
回想一下，实现softmax由三个步骤组成：

对每个项求幂（使用exp）；
对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数；
将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1。

在查看代码之前，我们回顾一下这个表达式：
在这里插入图片描述
分母或规范化常数，有时也称为配分函数（其对数称为对数-配分函数）。该名称来自统计物理学中一个模拟粒子群分布的方程。

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X) # 对每一个元素作指数计算
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)  
    # 我们按照维度为1来求和，就是把每一行进行求和，keepdim=True保持二维矩阵的shape
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

正如上述代码，对于任何随机输入，我们将每个元素变成一个非负数。此外，依据概率原理，每行总和为1。

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))  # 初始化了一个均值为0，方差为1的，2行5列的矩阵X
X_prob = softmax(X)  # 把它放进softmax之后，它的形状没有发生变化
X_prob, X_prob.sum(1) # 按照行来做加法的话，会得到一个长为2的行向量，每一行的值为1，表示上面的概率每一行的和为1

在这里插入图片描述
注意，虽然这在数学上看起来是正确的，但我们在代码实现中有点草率。矩阵中的非常大或非常小的元素可能造成数值上溢或下溢，但我们没有采取措施来防止这点。

定义模型

定义softmax操作后，我们可以实现softmax回归模型。下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。注意，将数据传递到模型之前，我们使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)
    # 对于输入X，我们需要的是一个批量大小 x 输入维数的矩阵，所以我们把它reshape成一个2d的矩阵，-1表示让它自己算一下，这个维度表示批量大小
    # W.shape[0]是784
    # X被reshape成一个256*784的矩阵
    # 然后我们再对X和W进行矩阵乘法
    # 通过广播机制，加上我们的偏移
    # 最后放进softmax里面
    # 拿到一个所有的元素值大于0，而且行和为1的输出

定义损失函数

接下来，我们实现交叉熵损失函数。这可能是深度学习中最常见的损失函数，因为目前分类问题的数量远远超过回归问题的数量。
在讲代码之前，我们补一个细节，怎么样在我的预测值里面根据我的标号把我们对应的预测值拿出来？

y = torch.tensor([0, 2]) # 创建一个长度为2的向量，这里表示两个真实的标号，这里标号的含义是该样本被分为第几类！就是实际该样本属于下标为几的类
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]]) # 对2个样本作3类预测
y_hat[[0, 1], y]

在这里插入图片描述
解释：

对y_hat中的第0个样本，拿出下标为0的预测值
对y_hat中的第1个样本，拿出下标为2的预测值

现在我们只需一行代码就可以实现交叉熵损失函数。

def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])
    # range(len(y_hat)) 生成一个0-y_hat-1的行向量，也就是说对y_hat中的每一行（每一个样本）而言
    # 拿出来对应真实标号的预测值
    # 取个log
    # 求负数

cross_entropy(y_hat, y)

在这里插入图片描述
2.3026是样本0的损失，0.6931是样本1的损失，损失都是大于0的。

分类精度

因为我们做的是分类问题，所以我们要判断说预测的类别和真实的类别是不是正确的。
我们这里实现一个小函数，说给定我们的预测值y_hat和我们的真实值y，我们来计算我们分类正确的类别数。

def accuracy(y_hat, y):
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1: # 如果y_hat是一个二维矩阵的话，列数也大于1
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)  # 按照每一行求argmax，每一行中元素值最大的那个下标，存到y_hat里面，这就是我预测的分类类别
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y   # 可能我的y_hat和我的y数据类型不一样，把y_hat转成y的数据类型，作比较，变成一个bool的tensor
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())  # 把结果转成和y一样的数据类型，求和，再转成浮点数

accuracy(y_hat, y) / len(y) # 找出来预测正确的样本数 除以 y的长度，就是预测正确的概率
# 为什么除以y的长度，y的长度就是真实需要预测样本的总数

在这里插入图片描述
同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集，我们可以评估在任意模型net的精度。

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):  # 如果是用torch nn实现的模型
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式，意思是说不要计算梯度了，我们只做一个前向传递
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
            # 先把X放到net里面算出评测值
            # 然后计算所有的预测正确的样本数
            # y.numel() 样本总数
            # 放进一个Accumulator累加器里
    return metric[0] / metric[1]  # metric[0]分类正确的样本数 metric[1]总样本数 做除法，就能算出模型的精度了

这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。在上面的evaluate_accuracy函数中，我们在Accumulator实例中创建了2个变量，分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

class Accumulator:  
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n

    def add(self, *args):
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]

    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)

    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]

训练

在我们看过线性回归实现， softmax回归的训练过程代码应该看起来非常眼熟。在这里，我们重构训练过程的实现以使其可重复使用。首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。请注意，updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):       # 如果我是用nn 模块
        net.train()                      # 告诉我的模型开始训练模式，即告诉pytorch我要计算梯度
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()  # 先把梯度设成0
            l.mean().backward()  # 再计算梯度
            updater.step()   # 再更新一遍参数
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()   # 求和并算梯度
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())   # 记录一下分类的正确的个数
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

在展示训练函数的实现之前，我们定义一个在动画中绘制数据的实用程序类Animator，它能够简化其余部分的代码。
这是一个小动画，可以让我们看到模型在训练中的变化。

class Animator:
    """在动画中绘制数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

接下来我们实现一个训练函数，它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。我们将利用Animator类来可视化训练进度。

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型（定义见第3章）"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc']) 
   	# 上面这个是用来可视化的，可以忽略
   	# 扫n遍数据
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)  # 训练一次，更新我们的模型
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)   # 在测试数据集上评估精度
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))  # 可视化的显示一遍
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

作为一个从零开始的实现，我们使用小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数，设置学习率为0.1。

lr = 0.1

def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

现在，我们训练模型10个迭代周期。请注意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数。通过更改它们的值，我们可以提高模型的分类精度。

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

在这里插入图片描述
随着训练的进行，精度在不断的上升，损失在下降。

预测

现在训练已经完成，我们的模型已经准备好对图像进行分类预测。给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):
    """预测标签"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, test_iter)