7.1 动态规划背包问题综述

news2024/11/19 14:29:15

动态规划中的背包问题是一类经典的优化问题，主要涉及到在给定的限制条件下（如背包容量），如何选择物品集合以达到某种最优目标（如价值最大）。这类问题通常可以细分为几种类型，包括0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题以及分数背包问题。下面是对这些类型的一个简要综述：

1. 0-1背包问题

这是最基础的背包问题形式。每种物品只有一件，对于每件物品，只能选择放或不放。状态转移方程可以表示为：（状态只能是二维的）；

其中，𝑓[𝑖][v]表示前i件物品中选择一些装入容量为V的背包可以获得的最大价值；

𝑤[𝑖]是第i件物品的重量；c[𝑖]是第i件物品的价值。

说白了，如果装进入第i个物品与不装进物品的区别；这里要注意是从f[i-1][v-c[i]] 开始的；

案例描述：

假设你有一个背包，它的容量是10公斤。现在你面前有4件物品，每件物品有特定的重量和价值：

物品1：重量2公斤，价值3元
物品2：重量3公斤，价值4元
物品3：重量4公斤，价值5元
物品4：重量5公斤，价值8元

你的目标是在不超过背包容量的情况下，使背包中物品的总价值最大化。

计算过程：

我们从零开始填充一个动态规划表，其行表示物品数量（从0开始），列表示背包的容量（从0到10）。初始状态为𝑓[0][∗]=0f[0][∗]=0（不考虑任何物品的情况）。

接下来，逐步填充表格：

当前背包容量为0时，无论考虑哪件物品，价值都为0。
考虑物品1（重量2，价值3）：
当背包容量小于2时，𝑓[𝑖][𝑗]=𝑓[𝑖−1][𝑗]f[i][j]=f[i−1][j]。
当背包容量大于等于2时，𝑓[𝑖][𝑗]=max⁡(𝑓[𝑖−1][𝑗],𝑓[𝑖−1][𝑗−2]+3)f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−2]+3)。
以此类推，直到所有物品都被考虑。

最终，𝑓[4][10]f[4][10]的值就是所求的答案。

def knapsack(capacity, weights, values, n):
    # 初始化二维数组
    dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(n + 1)]

    # 填充dp数组
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            if weights[i-1] <= j:
                # 当前重量可以装入背包
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])
            else:
                # 当前重量超出背包容量，继承上一行的值
                dp[i][j] = dp[i-1][j]

    return dp[n][capacity]

# 物品的重量和价值
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 8]
n = len(weights)
capacity = 10

# 调用函数
max_value = knapsack(capacity, weights, values, n)
print("最大价值:", max_value)

该算法时间复杂度：O(VN）

2. 完全背包问题（状态是多维的）

与0-1背包不同，完全背包问题中的每种物品都有无限多件。因此，对于每种物品，可以选择任意数量放入背包。状态转移方程可以表示为：

但实际计算中，可以优化为：

注意这里与01背包问题的区别：

：是包含之前i个（当前也包括）物品的，然而01背包问题是不包含的；

该算法时间复杂度：O(VN）

完全背包问题与0-1背包问题的主要区别在于，完全背包问题中的每种物品都可以无限次地选择。下面我们来看一个完全背包问题的案例及相应的Python代码实现。

案例描述：

假设你有一个背包，它的容量是10公斤。你有三种类型的物品，每种物品可以无限次地选择，它们的重量和价值如下：

物品1：重量2公斤，价值3元
物品2：重量3公斤，价值4元
物品3：重量5公斤，价值8元

你的目标是在不超过背包容量的情况下，使背包中物品的总价值最大化。

def complete_knapsack_forward(capacity, weights, values, n):
    # 初始化二维数组
    dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(n + 1)]

    # 遍历物品
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            # 从weights[i-1]开始，正向更新
            if j >= weights[i-1]:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j - weights[i-1]] + values[i-1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]

    return dp[n][capacity]

# 物品的重量和价值
weights = [2, 3, 5]
values = [3, 4, 8]
n = len(weights)
capacity = 10

# 调用函数
max_value = complete_knapsack_forward(capacity, weights, values, n)
print("最大价值:", max_value)