意见动态建模

$1_n$：表示n维全为1的列向量

$0_n$：表示n维全为0的列向量

$I_n$：表示$n\times n$的单位阵

$e_i$：表示基单位向量，向量中除了第i个位置上为1外其余都为0

矩阵A为非负矩阵，意味着着其中所有的元素$a_{ij}\ge 0$

矩阵A为正矩阵，意味着着其中所有的元素$a_{ij}>0$

对于非负矩阵A，若${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}\le 1$，即每行元素和小于等于1，则称A为行次随机矩阵；若${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=1$，则称A为行随机矩阵；若${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=1$且${\sum }_{j=1}^n{a}_{ji}=1$，则称A为双随机矩阵。

谱半径：只有方阵才有谱半径，谱半径是方阵A的最大特征值的绝对值。$\rho (A)=max\left|{\lambda }_i\right|$

本原矩阵：若$\exists k\in N$，使得$A^k>0$，则称非负方阵A为本原矩阵。

图论

图的相关定义：

$g[A]=(V,\epsilon [A],A)$，其中$V=v_1,v_2,...,v_n$是图中的顶点，在文中表示单个个体；

边$e_{ij}=(v_i,v_j)$在$a_{ij}>0$的时候，是有序集合$\epsilon [A]$的元素；

若$\epsilon [A]$中存在元素$e_{ii}$，则表示节点$v_i$有一个环(loop)；

$e_{ij}$是$v_j$的输入，是$v_i$的输出，意味着vj会学习到有关vi的信息(通常是一个意见值)；

通常$A\ne A^T$，所以这里假定g[A]是有向图；

$v_i$的邻居节点为 N i = { v j ∈ V : ( v j , v i ∈ ϵ [ A ] ) } N_i = \{v_j∈V:(v_j,v_i∈ϵ[A])\} Ni​={vj​∈V:(vj​,vi​∈ϵ[A])}
如果存在一条直接路径，使得从$v_j$到达$v_i$，则称vi是可以到达的，直接路径是边的集合。

强连通：在有向图$\epsilon [A]$中，对于任何两个节点之间都存在路径就是强连通图。

有向图：出发点和终点是同一个点，且在路径上除了出发点/终点外没有重复的点，图的长度就是路径边的数量。

非周期性：任何有自回路的图都是非周期性的。

引理1：当且仅当A为本原矩阵时，ε[A]是强连通，非周期性的。

引理2(主导特征向量)：

对于强连通图$\epsilon [A]$和行随机矩阵A，有严格正的左、右特征向量$u^T$和$1_n$

它们与A的特征值${\lambda }_1=\rho (A)=1$相关，且正交化使得$u^T{1}_n=1$，那么$u^T$和$1_n$称为A的主导左、右特征向量。

DeGroot 模型

DeGroot模型假定n个人讨论一个主题，用$g[A]$来建模个体之间的交互行为，$x_i(k)$表示的是第i个人在k时刻的观点，时间k是离散值$(k=0,1,2,...)$，根据模型可以建模如下(1)：

即第i个人在第k+1时刻的观点同所有人前一时刻k的观点有关，${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=1$，所以A是非负的行随机矩阵。写出紧凑形式如下(2)：

DeGroot模型又称加权平均模型，它假设在每个更新时刻，个体观点更新为其所有邻居节点观点的加权平均，其中权重由个体之间的相互影响刻画。
引理3：

假定是g[A]强连通的，那么当且仅当g[A]为非周期时模型会收敛如下：

${\lim }_{k\to \infty }x(k)={\beta }_n，\beta \in R$
其中，$\beta ={\delta }^{T}x(0)$，且δT是A的主导左特征向量。

对于一些主观性强的问题，没有确切答案，所以此时令观点$x_i$为连续值(实数)比较好；对于一些有关导致行为的问题(是否问题)，$x_i$定义为离散值。

上述的${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=1$和$a_{ij}\ge 0$确保了$x_i(k+1)$是$x_j(k)$的凸组合/加权平均，使得(1)作为一种平均算法广泛应用于多主体一致的协调。

Friedkin-Johnsen models

在DeGroot模型的基础上，Friedkin-Johnsen模型引入了“固执”个体的概念，即个体对自己的初始观点带有固执性。个体的观点更新为其所有邻居节点的凸组合与其处事观点的加权平均(3)：

$$x_i(k+1)={\lambda }_i\sum _j^n{a}_{ij}{x}_j(k)+(1-{\lambda }_i)x_i(0)$$
${\lambda }_i$：敏感性，即受他人观点影响的易感程度

$1-{\lambda }_i$：不敏感性，也是代表一个人有多固执，有多坚持他最初的观点，有多么不愿意接受别人的信息

若${\lambda }_i=1$，就说明一个人他很容易被他人观点影响，即不固执，这时候(3)同(1)，回到了最初的DeGroot模型

若${\lambda }_i=0$，表示这个人极大的拒绝他人的影响，如果是DeGroot模型的话，当节点i没有邻居节点的时候这个情况可能会发生。

如同前一个模型，我们写出紧凑形式(4)：

$\Lambda$ 是敏感性构成的对角阵，若所有人都很敏感，那么所有${\lambda }_i$都为1

• 引理4：

假定至少有一个节点i，有${\lambda }_i$，即至少有一个不那么敏感；$g[A]$为强连通，$\exists i,j\in 1,...,n$，使得${\lambda }_i，{\lambda }_j<1$，则$\rho (I_n-\Lambda A)<1$，且下式以指数速度收敛：

${\lim }_{k\to \infty }x(k)=x^{\ast }=Vx(0)$
其中，$V=(I_n-\Lambda A{)}^{-1}(I_n-\Lambda )$是行随机矩阵，x^∗的每一项都是x(0)的凸组合。

Friedkin-Johnsen模型在强连通网络中，每当$\exists i,j\in 1,...,n$，有${\lambda }_i，{\lambda }_j<1$且$x_i(0)\ne x_j(0)$时，通常会产生强多样性的有限观点。

如果每个人都有一些固执，即${\lambda }_i<1$，那么对一般的初始条件x(0)，会有任何两个$x_i^{\ast }\ne x_j^{\ast }$，即在几乎所有的初始条件下，个体们的有限的观点在社会网络中展示了强大的多样性。

社会权力演变

假设一个人参加了一个强连通网络的讨论，其中要讨论很多话题，这些话题是按顺序进行讨论的。且一个人可以在这整个讨论过程中感知到他对每次讨论结果的影响力，如果它感知到自己对讨论结果的影响力越来越小，那么他会变得对自己的观点没有最初那么自信，这种自信称之为社会权力(social power)。在本节讨论的模型中，首先引入按顺序排列的话题序列如下：
$S=1,2,...,n$

根据引理3，在DeGroot模型下，强连通网络会使得每个话题最终都会达成一致意见。
我们在本节要介绍的模型中，关注点有二：一是一个人如何评估他在一次讨论中的影响；二是他要如何通过更新自信来影响下一个话题的讨论。

首先引入一些符号标记：

$a_{ii}$为A对角线上的元素，表示节点i的自信

$a_{ii}(s)$是i对于话题s的自信，可以某种方式发生改变

$x_n(k,s)$随时刻k的变化而变化，它表示第i个个体就话题s在k时刻的观点值

随时刻演变有(6)：

$x_i(k+1,s)=a_{ii}(s)x_i(k,s)+(1-a_{ii}(s)){\sum }_{j\ne i}^n{c}_{ij}{x}_j(k,s)$
其中：$c_{ij}\ge 0$且独立于s，它表示i对j的相对信任，定义$c_{ii}=0$，确保${\sum }_{j=1}^n{c}_{ij}=1$；

定义$a_{ij}(s)=(1-a_{ii}(s))c_{ij}$，使得${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}(s)=1$
紧凑如下(7)：

$x(k+1,s)=A(s)x(k,s)$

其中有(8)：

自我评价反映的演变

任何话题的意见讨论建模都是通过Degroot模型完成的，Friedkin-Johnsen模型的重点在于提出一个系统的机制来更新$a_{ii}(s)$

情况一：考虑一个主题$s\in S$且$g[C]$是强连通图时，若所有的$a_{ii}(s)<1$且存在至少一个$a_{ij}(s)>0$，那么$g[A(s)]$就是强连通图，$A(s)$就是非周期的。因此根据引理3，$x(s,k)$就会随时间增长最终达成一致意见。

情况二：若$\exists j$使$a_{jj}(s)=1$而其余节点$i\ne j$都有$a_{ii}(s)<1$，则$g[A(s)]$是这样一个图：它存在一条路从节点j通往其余节点$i，i\ne j$，但节点j没有入节点，这种情况下$g[A(s)]$就不是强连通图，此时${\lim }_{k\to \infty }x(s,k)=x_j(0)1_n$，最终意见都与节点j相同。

综上两种情况，可以写出(9)：

$$\underset{k\to \infty }{\lim }x(s,k)={\zeta }^T(s)x(0,s)1_n=\sum _{i=1}^n{\zeta }_i(s)x_i(0,s)1_n$$
其中，${\zeta }^T$是$A(s)$的主导左特征向量，若是第二种情况，则有${\zeta }^T=e_j$
有${\sum }_{i=1}^n{\zeta }_i(s)=1$，可知${\zeta }_i(s)$表示着一种相对贡献/社会权力，表示一个人对话题做的贡献，和讨论中的影响力。

Friedkin-Johnsen模型提出，在每个话题讨论结束时，每个人都会通过下述方式来更新自信(10)：

$a_{ii}(s)={\zeta }_i(s)$

即$A(s+1)$中的对角线元素$a_{ii}(s)$就是$A(s)$的主导左特征向量上的元素${\zeta }_i(s)$
即个体衡量他自己的观点相对于他人观点的权重=他对最终结果的贡献，所以自信是如何调整的，和话题s的顺序有关。

当初始情况满足上述情况一或情况二时，考虑话题的顺序(11)：

其中$r_i$是C的主导左特征向量上的第i个位置的元素

DeGroot-Friedkin模型(DeGroot)的新研究

定义(星图)：有一个节点与其余所有节点有连接，但其余节点相互之间没有连接。有向无向均可。

定理：如(11)定义的更新机制$\zeta (s+1)=F(\zeta (s))$，考虑$g[C]$强连通图中至少有三个节点的情况，假定最初条件满足：$\exists j:a_{jj}(0)>1$且其余$a_{ii}(0)<1$，则有：

1. 若g[C]是星形图，中心节点为$v_1$，不失一般性的有${\lim }_{s\to \infty }\zeta (s)=e_1$，且收敛速度是渐进的而不是以指数速度的，其他点是不稳定的。
2. 若$g[C]$不是星形图，则${\lim }_{s\to \infty }\zeta (s)={\zeta }^{\ast }$是以指数速度收敛的，且${\zeta }^{\ast }$是唯一固执点。

最终社会权力的分析

就非星形图而言，有关最终唯一固执点${\zeta }^{\ast }$的结论如下：

当且仅当$r_j>r_i$时，有${\zeta }_j^{\ast }>{\zeta }_i^{\ast }$
当且仅当$r_j=r_i$时，有${\zeta }_j^{\ast }={\zeta }_i^{\ast }$
其中$r_i$是C的左主导特征向量上的第i个位置上的元素

$r_i$的排列顺序可能会影响最终社会权力的确定(13)：

$${\zeta }_i^{\ast }\le \frac{r_i}{1-r_i}$$

动态相对互动拓扑

考虑更多的时变(time-variation)，这些时变使得相对信任矩阵C中元素发生变化，即个体之间的相对信任不再是不变的，这是有道理的，比如在讨论不同的话题的时候，有一些人较为擅长该话题，那么其他人就会给予这个人更多的信任。

$\sigma (s)$引入一个开关信号，它捕捉了相对信任矩阵C的主题的变化时的性质。$\sigma (s)$独立于$\zeta (s)$，此时有$g[C(s)]=g[C_{\sigma (s)}]$，此时有(14)：

$\zeta (s+1)=F_{\sigma (s)}(\zeta (s))$

对于上述系统，有(15)：

${\lim }_{s\to \infty }\zeta (s)={\zeta }^{\ast }(s)$

其中，${\zeta }^{\ast }$是由决定的唯一极限轨迹，若周期性变化，则轨迹也是周期性轨迹。

相似时间尺度，记忆和噪声

观点演化和社会权力演化的时间尺度k是不同是，通常观点演化要快于权力演化，因此一致意见总是在自信尚未更新前就达到了，(10)意味着每个人都精确的知道自己的相对贡献，但这在大型网络中是不太可能的。

表达观点(expressed opinion)和私人观点(private opinion)

在某些情况下，个体与他们交往时可能会表达与他们私下观点并不一致的观点，称之为表达观点。本节专门介绍一种动态模型，其中包含了对观点的这种区分。之所以会出现这种区别，是因为个人在集体环境中感到有压力，他们必须要遵守社会标准或规范。

最近的另一项著作创造了“伪造偏好”(preference falsification)一词，用以描述一种情况，即一个人有意或无意识地表达了他/她真实意见的改变形式。不受欢迎的规范也可以强制执行，即使大多数人而私下不喜欢它们，但是人们会出于担心孤立和暴露而表示出喜欢。多元无知(pluralistic ignorance)一词已被用来描述私人意见与公众意见之间大量出现差异的结果：人们认为，在现实中，公众多数支持立场A（例如在新闻媒体中他们表达了意见），但实际上多数人支持（私人）B立场。

已经提出了定量模型以尝试捕获一些上述现象。这些模型是静态的，本质上是实验数据的曲线拟合。 相反，可以开发与前几节中探讨的模型相一致的基于动态主体的模型，因为这些模型可以使我们更深入地了解意见如何通过网络进行变化，包括时间变化的影响。

EPO模型

EPO(expressed-private-opinions)模型是一种动态模型，它目的是在个体的表达观点和私人观点之间找到这种差异是如何产生的，假定一个人的表达观点是其私人观点由于遵守社会网络平均观点(social network’s average opinion)的压力而改变的。换句话说，个人对压力具有一定的“弹性”，但并不受其影响。还假定每个人仍然像Friedkin-Johnsen模型中那样，在某种程度上仍然与个人的初始观点联系在一起。虽然“顽固性”的概念在意见动态中已经很普遍了一段时间，例如在Friedkin-Johnsen模型中，但“弹性”(resilience)的概念是专门为EPO模型引入的。

该模型的数学形式可以看作是Friedkin-Johnsen模型的适度调整。 关键的扩展是通过以下方式向第i个代理赋予称为弹性的标量参数。

其中，${\tilde{x}}_{avg}(k-1)={\sum }_{i=1}^n\frac{{\tilde{x}}_i(k-1)}{n}$，为公众观点(public opinion)；${\varphi }_i$表示弹性，弹性越大，就越不易被公众观点影响私人观点，换言之，私人观点和表达观点的差距就越小。

上式说明个体拥有私人观点$x_i\left(k\right)$，和表达观点${\tilde{x}}_{avg}\left(k\right)$，表达观点供其他个体进行了解，表达观点是联合私人观点及群体影响(用表达观点计算的社会网络平均观点)的观点。对于中小型网络，上式可行，因为能够计算得出所有个体的表达观点用来计算社会网络平均观点，但是对于大型网络，公众的观点需要通过民意调查和社交媒体时，需要将上式的(21b)替换成下式(22)：

(22)：${\tilde{x}}_i(k)={\varphi }_i{x}_i(k)+(1-{\varphi }_i)x_{i,lavg}(k-1)$

其中，${\tilde{x}}_{i,lavg}(k-1)={\sum }_{j\in Ni}^n{b}_{ij}{\tilde{x}}_j$是个体i的邻居节点的权重以及表达意见，此时，称$x_{i,lavg}(k-1)$为个体i的局部公共观点。