【高中数学/基本不等式】已知a,b皆为正实数，且a+b=2 求：1/a+4/b的最小值？（2011年重庆理科卷第七题）

news2024/10/5 17:26:22

【题目】

已知a,b皆为正实数，且a+b=2   求：1/a+4/b的最小值？

【解答】

解法一：基本不等式法

由a+b=2可推知a/2+b/2=1

1/a+4/b=(a/2+b/2)/a+(2a+2b)/b=1/2+b/2a+2a/b+2=2.5+b/2a+2a/b

>=2.5+2倍根号下（b/2a*2a/b）=2.5+2*1=4.5

答：1/a+4/b的最小值是4.5，这是a在（0，2）区间的最小值。

解法二：判别式法

由a+b=2可推知b=2-a

y=1/a+4/b=1/a+4/(2-a)=(2+3a)/(2a-a*a)

将a用x替代可得

y=(2+3x)/(2x-x*x)

展开得y*x^2+(3-2y)x+2=0

Δ=(3-2y)^2-8y=4y^2-20y+9>=0

解得y>=9/2 或y<=1/2

用此法得出得9/2与解法一得出得4.5是一致的，此时x=2/3

而y=1/2时，x=-2,这已经超出了(0,2)的范围，为什么会有这样的结果呢？这时必须依靠函数图像进行分析。

【函数图像】

由y=(2+3x)/(2x-x*x)=(2+3x)/x/(2-x)可以知道，x=0,x=2处为图线断点，图线因此分为三段。

且当x趋近于-∞时，y趋近于+0；当x趋近于+∞时，y趋近于-0。

全部函数图像如下：

由上图可见：

当x∈(-∞,0)时，函数有最大值1/2，此时x=-2；（这个由判别式法可得出结论）

当x∈(0,2)时，函数有最小值9/2,此时x=2/3；（这个由判别式法和基本不等式法都可得出结论）

当x∈(2,+∞)时，函数从下方趋近于x正轴，函数没有最大最小值；

图像法能得到以上全部信息。

从上述过程也能看出，基本不等式和判别式两种方法找到的极值点是导数为0的位置，这也是两种方法在初等数学里大放异彩的原因。

【绘制图像的Canavs代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>UNASSIGNED</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body οnlοad="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="1200px" height="600px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码(从<!DOCTYPE到script>)拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，
* 另存为.html文件，再用chrome浏览器打开，就能看到实现效果。
******************************************************************/
// 画布宽度
const WIDTH=1200;

// 画布高度
const HEIGHT=600;

// 画布环境
var context=0;   

// 缩放比例
const ScaleUnit=12.5;

// 舞台对象
var stage;

// 消逝的时间
var timeElapsed=0;

// 图像标题，title
const TITLE=" y=(2+3*x)/(2*x-x*x)";

// 核心勾画函数，由body_onload调用
function draw(){
    document.title="函数"+TITLE+" 图示";

    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');  
    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    if(timeElapsed<4800){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
    var obj=new Object;

    obj.prpty={"x":-24,"y":0,"pts":[],"pts2":[],"pts3":[],"max":-10,"min":10};

    // 随时间更新位置
    obj.update=function(t){
        // xy值是如何变化的
        obj.prpty.x+=0.01;
        let x=obj.prpty.x;
        obj.prpty.y=(2+3*x)/(2*x-x*x);

        // 取极值
        if(obj.prpty.y<obj.prpty.min){
            obj.prpty.min=obj.prpty.y;
        }
        if(obj.prpty.y>obj.prpty.max){
            obj.prpty.max=obj.prpty.y;
        }

        // 放入数组
        let arr={"x":obj.prpty.x,"y":obj.prpty.y};

        if(arr.x<0){
            this.prpty.pts.push(arr);
        }else if(arr.x<2){
            this.prpty.pts2.push(arr);
        }else{
            this.prpty.pts3.push(arr);
        }
        
    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  
        // 写当前点坐标
        drawText(ctx,"当前 X:"+this.prpty.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.prpty.y.toFixed(3),-400,125,"navy",18);

        // 写极值
        drawText(ctx,"max:"+this.prpty.max.toFixed(3)+"  min:"+this.prpty.min.toFixed(3),-400,105,"navy",18);

        // 绘制曲线
        paintCurve(ctx,"maroon",this.prpty.pts);
        paintCurve(ctx,"orange",this.prpty.pts2);
        paintCurve(ctx,"navy",this.prpty.pts3);
    };

    // 画背景
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
        ctx.fillStyle="white";
        ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"grey");
        
        // 标题
        drawText(ctx,"函数 "+TITLE+" 图示",-400,-160,"navy",18);

        // 作者，日期
        drawText(ctx,"逆火",-500,-200,"navy",16);
        drawText(ctx,(new Date()).toLocaleDateString(),-500,-220,"navy",16);
    };
    
    return obj;
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.beginPath(); 
    
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){
            ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);
        }
    }     
    
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
      ctx.save();

      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
      ctx.fillStyle=color;
      ctx.fill();
      ctx.stroke();
      ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();

    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;

    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    ctx.restore();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);
        
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();

        drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);
        
        drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12);

        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线

    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "aqua"/* aqua湖绿色*/,
        "black"/* black黑色*/,
        "blue"/* blue蓝色*/,
        "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,
        "green"/* green 绿色*/,
        "grey"/* grey 草木灰*/,
        "lime"/* lime 亮绿色*/,
        "maroon"/* maroon 棕色*/,
        "navy"/* navy 海军蓝*/,
        "orange"/* orange 橙色*/,
        "purple"/* purple 紫色*/,
        "red"/* red 大红*/,        
        "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,
        "teal"/* teal 蓝绿色*/,
        "yellow"/* yellow 亮黄*/,
        "#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/,        
    ];

    if(index>arr.length){
        index=index % arr.length;
    }

    return arr[index];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}
//-->
</script>

END

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