常用的几个不等式:
e
x
≥
x
+
1
e^{x}\geq x+1
ex≥x+1
ln
x
≤
x
−
1
\ln x\leq x-1
lnx≤x−1
e
x
≥
e
x
e^{x} \geq ex
ex≥ex
e
x
≥
1
+
x
+
x
2
2
e^x\geq1+x+\frac{x^2}{2}
ex≥1+x+2x2
当x>0时， e x ≥ e x + ( x − 1 ) 2 = x 2 − ( e − 2 ) x + 1 e^x\geq ex+(x-1)^{2}=x^2-(e-2)x+1 ex≥ex+(x−1)2=x2−(e−2)x+1
上述算式在x=0或x=1时取等号。
(from:)this
1泰勒展开（麦克劳林级数）
e x = x 0 0 ! + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . . . . = ∑ i = 0 ∞ x i i ! e^x=\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+......=\sum ^{\infin} _{i=0} {\frac{x^{i}}{i!}} ex=0!x0+1!x1+2!x2+3!x3+......=i=0∑∞i!xi
泰勒放缩
泰勒级数式应当是这样的：
e
x
=
x
0
0
!
+
x
1
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
.
.
.
.
.
.
e^x=\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+......
ex=0!x0+1!x1+2!x2+3!x3+......(其实就是）
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
.
.
.
.
.
.
e^x=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+......
ex=1+x+2!x2+3!x3+......
此时我们简单粗暴把这个算式截断,舍去后面的高次项。
例如，截断于二次项得：
e
x
≥
1
+
x
+
x
2
2
e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2}
ex≥1+x+2x2同样的，如果在一次项处截断就得到了开篇的一个不等式。
e
x
≥
1
+
x
e^{x}\geq 1+x
ex≥1+x
注：由于全部函数都是在 0 处展开的，所以每一个泰勒展开式的取等点都是x=0，此处不例外
放缩部分参考：
[1]专栏霜夏の数学note at 知乎【升级の高中数学／导数】函数逼近的三种方法——泰勒展开、帕德逼近与洛朗级数,1-4
[2]第二章 : 函数放缩问题●泰勒级数
2帕德逼近
具体的帕德逼近内容可以看一下的两篇文章。
写之前特意查了一下1函数逼近的一些方法、2【升级の高中数学／导数】函数逼近的三种方法——泰勒展开、帕德逼近与洛朗级数【2】两篇文章
实际上如果仅仅是应付考试比大小的话，其实直接看九宫格右下角的公式就可以得出一个约值。
e
x
≈
x
2
+
6
x
+
12
x
2
−
6
x
+
12
(
x
∈
(
−
2
,
2
)
)
e^{x}≈\frac{x^{2}+6x+12}{x^{2}-6x+12}(x\in (-2,2))
ex≈x2−6x+12x2+6x+12(x∈(−2,2))
3洛朗级数
计算式：
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∑
k
=
−
∞
∞
(
z
−
c
)
k
∮
Ω
f
(
z
)
(
z
−
c
)
k
+
1
d
z
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\sum ^{\infin} _{k=-\infin} (z-c)^{k} \oint _{\Omega} \frac{f(z)}{(z-c)^{k+1}} dz
f(z)=2πi1k=−∞∑∞(z−c)k∮Ω(z−c)k+1f(z)dz
这当然非常人之所能及。感兴趣的人可以看一下1和2，然后下面给出一些总结的公式
1
)
e
x
<
−
x
2
+
4
x
+
6
2
(
x
−
3
)
(
x
<
3
)
1) \quad e^{x} < -\frac{x^{2}+4x+6}{2(x-3)} \quad(x<3)
1)ex<−2(x−3)x2+4x+6(x<3)
2
)
e
x
≥
2
+
x
2
−
x
(
x
≤
0
)
2) \quad e^{x}\geq \frac{2+x}{2-x} \quad (x \leq 0)
2)ex≥2−x2+x(x≤0)
完
