info
个人博客主页	http://myhz0606.com/article/ncsn

前置阅读：

DDPM： http://myhz0606.com/article/ddpm

classifier-guided：http://myhz0606.com/article/guided

classifier-free guided：http://myhz0606.com/article/classifier_free

Score based generative model：http://myhz0606.com/article/ncsn

引言

在用Stable Diffusion生成图片时，除了输入图片表述文本外（positive prompt），我们还经常会使用negative prompt作为condition来让模型避免生成negative prompt所表述的概念。查阅源码发现stable diffusion中negative prompt的实现机制是将classifier-free guided中${ϵ}_{\theta }(x_t,y=\varnothing ,t)$替换为${ϵ}_{\theta }(x_t,\tilde{y},t)$，（$\tilde{y}$表示negative prompt）。即：

原生classifier-free guided每一个timestep的噪声估计如下：

$$\begin{array}{r}{\widehat{ϵ}}_{\theta }(x_t,y,t)={ϵ}_{\theta }(x_t,y=\varnothing ,t)+s[{ϵ}_{\theta }(x_t,y,t)-{ϵ}_{\theta }(x_t,y=\varnothing ,t)]\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

当有negative prompt condition时，将上式改为

$$\begin{array}{r}{\widehat{ϵ}}_{\theta }(x_t,y,t)={ϵ}_{\theta }(x_t,\tilde{y},t)+s[{ϵ}_{\theta }(x_t,y,t)-{ϵ}_{\theta }(x_t,\tilde{y},t)]\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

源码位置位于(diffuser版本v0.29.1): https://github.com/huggingface/diffusers/blob/main/src/diffusers/pipelines/stable_diffusion/pipeline_stable_diffusion.py#L427

那么为什么negative prompt能够work呢？

How do negative prompt take effect

为了引出相关推导，先快速回顾一下classifier-guided和classifier-free的motivation。

为了做条件生成（即从条件分布$p(x|y)$中采样样本），我们可以根据贝叶斯公式进行如下推导：

$$\begin{array}{rl}p(\mathrm{x}|y)& =\frac{p(y|\mathrm{x})p(\mathrm{x})}{p(y)}\\ \log p(\mathrm{x}|y)& =\log p(y|\mathrm{x})+\log p(\mathrm{x})-\log p(y)\\ \Rightarrow {\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y)& ={\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(y|\mathrm{x})+{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})-\underset{=0}{\underbrace{{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(y)}}\\ \Rightarrow {\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y)& ={\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(y|\mathrm{x})+{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

在classifier-guided任务中，我们已知无条件输入的score based model能够估计出 ${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})$ ，因此，为了得到${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(y|\mathrm{x})$ ，我们只需额外训练一个分类器来估计${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(y|\mathrm{x})$即可。为了控制condition的强度，引入一个guidance scale $s$。

$${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y):=s{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(y|\mathrm{x})+{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})\text{\hspace{1em}(4)}$$

对于classifier-free任务中，通过随机drop标签，我们同时训练${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})$ 和${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y)$ 两个score based model。虽然我们可以通过${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y)$ 直接进行条件生成，但为了控制生成时条件的强度，沿用了公式(4) guidance scale的概念。并且${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(y|\mathrm{x})={\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y)-{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})$ ，故有：

$${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y):=s({\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y)-{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}))+{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})\text{\hspace{1em}(5)}$$

stable diffusion代码路径：https://github.com/huggingface/diffusers/blob/main/src/diffusers/pipelines/stable_diffusion/pipeline_stable_diffusion.py#L1019

当有negative prompt作为condition时，此时的condition为两项，一项是$y$: positive prompt condition，另一项为 $\mathrm{not}\tilde{y}$：negative prompt condition。

只要得到 ${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y,\mathrm{not}\tilde{y})$我们就可以参考之前的采样算法生成样本。重新直接训练一个score based model来估计${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y,\mathrm{not}\tilde{y})$当然可行，但成本巨大。下面来看如何进行简化[1,2]

$$\begin{array}{rl}p(\mathrm{x}|y,\mathrm{not}\tilde{y})& =\frac{p(\mathrm{x},y,\mathrm{not}\tilde{y})}{p(y,\mathrm{not}\tilde{y})}\\ & =\frac{p(y,\mathrm{not}\tilde{y}|\mathrm{x})p(\mathrm{x})}{p(y,\mathrm{not}\tilde{y})}\\ & \stackrel{在x条件下y与\mathrm{not}\tilde{y}独立}{=}\frac{p(y|\mathrm{x})p(\mathrm{not}\tilde{y}|\mathrm{x})p(\mathrm{x})}{p(y,\mathrm{not}\tilde{y})}\\ & \propto \frac{p(\mathrm{x})}{p(y,\mathrm{not}\tilde{y})}\frac{p(y|\mathrm{x})}{p(\tilde{y}|\mathrm{x})}\\ \Rightarrow {\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y,\mathrm{not}\tilde{y})& \propto {\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})+{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(y|\mathrm{x})-{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\tilde{y}|\mathrm{x})\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

由于：

$$\begin{array}{r}{\nabla }_x\log p(y|\mathrm{x})={\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|y)-{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})\\ {\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\tilde{y}|\mathrm{x})={\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|\tilde{y})-{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

记$s^{+}$为positive prompt condition的guidance scale,$s^{-}$为negative prompt的guidance scale，有

$${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y,\mathrm{not}\tilde{y}):={\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})+s^{+}({\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|y)-{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}))-s^{-}({\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|\tilde{y})-{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}))\text{\hspace{1em}(8)}$$

通过式(8)可以得出，我们只需计算${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x})$ ，${\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|y)$，${\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|\tilde{y})$三项即可估计出${\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y,\mathrm{not}\tilde{y})$。

当$1-s^{+}+s^{-}=0$时，$s^{-}=s^{+}-1$有

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\mathrm{x}}\log p(\mathrm{x}|y,\mathrm{not}\tilde{y})& =s^{+}{\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|y)-(s^{+}-1){\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|\tilde{y})\\ & ={\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|\tilde{y})+s^{+}({\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|y)-{\nabla }_x\log p(\mathrm{x}|\tilde{y}))\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

式(9) 就是stable diffusion源码中实现形式

源码位置位于(diffuser版本v0.29.1): https://github.com/huggingface/diffusers/blob/main/src/diffusers/pipelines/stable_diffusion/pipeline_stable_diffusion.py#L427

文献[3]通过“Neutralization Hypothesis”，“Reverse Activation”解释negative prompt conditioning的工作机制，感兴趣的同学可以后续阅读。

When do negative prompt take effect

定性分析

上文我们通过理论推导证明了negative prompt conditioning的可行性。本节将从可视化的角度分析negative prompt conditioning是如何影响图片生成的。主要文献参考[3]

类似Prompt-to-prompt[4]的研究思路，我们可以绘制不同时间步token-wise attention map热力图。从图中发现，negative prompt作用存在一定延迟。positive prompt conditioning在生成的早期（t=0-3）时就关注到对应的区域，而negative prompt conditioning直到t=8-11才能正确关注到对应的区域。

定量分析

进一步的，为了定量的描述上述机制，文献[3]定义了$r_t$为negative prompt conditioning的强度

$$r_t=\frac{{\Sigma }_k\Vert F_{k,p_{-}(i)}^{(t)}{\Vert }_F}{{\Sigma }_k\Vert F_{k,p_{+}(r(i))}^{(t)}{\Vert }_F}\text{\hspace{1em}(10)}$$

假设：Positive prompt: Pofessional office woman. Negative prompt: Glasses

$p_{\_}$: 表示negative prompt

$p_{+}$: 表示positive prompt

$p_{\_}(i)$：表示negative prompt第$i$个索引处的token

$p_{+}(r(i))$：表示positive prompt $p_{+}$中与$p_{\_}(i)$最相关的token。$p_{\_}(i)$=”Glasses”, 那么$p_{+}(r(i))$=“woman”。

$F_{k,p_{\_(i)}}^t$: 在时间步为t时，在第k层cross-attention处token $p_{\_}(i)$对应的attention map。

$F_{k,p_{+}(r(i))}^t$: 在时间步为t时，在第k层cross-attention处token $p_{+}(r(i))$对应的attention map。

当$r_t$越小时，说明negative prompt conditioning的强度越小，反之越大。

选择了10对相应的提示对，10个不同的随机种子上进行实验，并绘制$(r_t,t)$曲线如下：

从上图不难得出：

• negative prompt conditioning的强度初始较弱，在时间步为5-10时达到峰值。
• 当negative prompt 为名词时，$r_t$呈先增强后降低趋势，这是由于当negative prompt作用后，会移除生成图片中的对应实体，从而让token-wise attention map的响应变弱。
• 当negative prompt 为形容词时，$r_t$呈先增强后稳定。

即然negative prompt conditioning存在滞后性，可以在初始阶段（t=0-5）不引入negative prompt conditioning，之后在引入，这能起到类似局部编辑的效果。

小结

本文相对系统探讨了diffusion model中negative prompt conditioning的工作机理，解释了stable diffusion关于negative prompt conditioning源码实现的合理性（式9），并给出了更一般的形式（式8）。

参考文献

[1] Compositional Visual Generation with Energy Based Models

[2] Compositional Visual Generation with Composable Diffusion Models

[3]Understanding the Impact of Negative Prompts: When and How Do They Take Effect?

[4]http://myhz0606.com/article/p2p