一、袖珍计算器
袖珍计算器方法主要运用到了我们高数上所学的关于e底数转化的思想，即
一种用指数函数 exp 和对数函数 ln 代替平方根函数的方法 :
1、exp函数：
exp是 C 标准库 <math.h> 中的一个函数，用于计算 e 的 x 次幂，其中 e 是自然对数的底数（约为 2.71828）。
函数声明：
#include <math.h>
double exp(double x);
float expf(float x);
long double expl(long double x);
函数用法：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main ()
{
double x = 0;
printf("e 的 %lf 次幂是 %lf\n", x, exp(x));
printf("e 的 %lf 次幂是 %lf\n", x+1, exp(x+1));
printf("e 的 %lf 次幂是 %lf\n", x+2, exp(x+2));
return(0);
}2、log函数：
log是 C 标准库 <math.h> 中的一个函数，用于计算一个浮点数的自然对数（以 e 为底）。
函数声明：
#include <math.h>
double log(double x);
float logf(float x);
long double logl(long double x);
函数返回值：
- 如果
x为负数，log()函数将返回 NaN，并设置errno为EDOM。 - 如果
x为零，log()函数将返回-HUGE_VAL（负无穷大），并设置errno为ERANGE。
（
C 库宏 extern int errno 是通过系统调用设置的，在错误事件中的某些库函数表明了什么发生了错误。
errno 是 C 标准库中的一个宏，定义在 <errno.h> 头文件中。它用于指示在程序运行过程中发生的错误。errno 实际上是一个整数变量，用于存储错误代码。库函数在发生错误时，会设置 errno 为适当的错误代码，以便程序可以检查和处理这些错误。
）
函数用法：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main ()
{
double x, ret;
x = 2.7;
/* 计算 log(2.7) */
ret = log(x);
printf("log(%lf) = %lf", x, ret);
return(0);
}3、实现
所以我们可以写出如下的函数：
int mySqrt(int x) {
if (x == 0) {
return 0;
}
int ans = exp(0.5 * log(x));
return ans;
}但是在leetcode上提交会有一项通不过：
由于计算机无法存储浮点数的精确值，而指数函数和对数函数的参数和返回值均为浮点数，因此运算过程中会存在误差。例如当 x=2147395600的计算结果与正确值 463404634046340 相差 10^-11 ，这样在对结果取整数部分时，会得到 463394633946339 这个错误的结果。因此在得到结果的整数部分后，我们应当再将（ans+1)^2的值再与x经行比较如果比x小则说明出现了刚刚那种情况。
二、二分查找
这种思想主要是来源于对于x的平方根ans（平方根的整数部分）来说：ans^2一定是<=x的，
（ans+1）^2>x
所以一种简单的思想是将从0到x的所有值与x按照上面的思路比较
int mySqrt(int x) {
unsigned long long len=0;
unsigned long long ret=0;
while(len<=x)
{
if(len*len<=x&&(len+1)*(len+1)>x)
{
ret=len;
break;
}
len++;
}
return ret;
}但是实际上我们比较的时候是相当于对有序数组经行查找操作，所以我们可以用二分查找的想法去改进这个题：
int mySqrt(int x)
{
int l = 0, r = x, ans = -1;
while (l <= r) {
long long mid = l + (r - l) / 2;
if (mid * mid <= x) {
ans = mid;
l = mid + 1;
}
else {
r = mid - 1;
}
}
return ans;
}三、牛顿迭代
1、原理
牛顿迭代法是一种可以用来快速求解函数零点的方法。（链接：牛顿迭代法_百度百科 (baidu.com)）我们可以设出如下函数：
显然：c的平方根计算f（x）的零点（零点是x的值，这里我们取正的）；
牛顿迭代法的本质是借助泰勒级数，从初始值开始快速向零点逼近。我们任取一个xo作为初始值，在每一步的迭代中，我们找到函数图像上的点(xi,f(xi)),过该点作一条斜率为该点导数f'(xi)的直线，与横轴的交点记为xi+1。xi+1相较于xi而言距离零点更近。在经过多次迭代后，我们就可以得到一个距离零点非常接近的交点。
按照我的理解就是利用函数切点斜率等于函数值变化率的 本质使得f（xo）的值快速往下降最终降到为0时即为零点。
2、算法
我们选择xo=C作为初始值。
在每一步迭代中，我们通过当前的交点xi,找到函数图像上的点(xi,x²-C),作一条斜率为f'(xi)=2x;的直线，直线的方程为：
y=2xi*(x-xi)+xi²-C
=2xi*x-(x²+C)
与横轴的交点为方程2xi*x-(xi²+C)=0的解，即为新的迭代结果xi+1=1/2*（xi+c/xi）
在进行k次迭代后，xk的值与真实的零点√C足够接近，即可作为答案。
什么时候结束呢？
一般来说，可以判断相邻两次迭代的结果的差值是否小于一个极小的非负数 ϵ，其中 ϵ 一般可以取 10^−6或 10^-7(再leetcode上这个数据段可以用1e-7来实现也可以看这篇博客：（C中float类型与0比较用e-7的原因_fabs(disc) <= 1e-7-CSDN博客)
3、实现：
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
if (x == 0) {
return 0;
}
double C = x, x0 = x;
while (true) {
double xi = 0.5 * (x0 + C / x0);
if (fabs(x0 - xi) < 1e-7) {
break;
}
x0 = xi;
}
return int(x0);
}
};
