day38动态规划part01| 理论基础 509. 斐波那契数 70. 爬楼梯 746. 使用最小花费爬楼梯

news2024/10/6 20:28:14

理论基础

无论大家之前对动态规划学到什么程度，一定要先看我讲的动态规划理论基础。
如果没做过动态规划的题目，看我讲的理论基础，会有感觉是不是简单题想复杂了？
其实并没有，我讲的理论基础内容，在动规章节所有题目都有运用，所以很重要！
如果做过动态规划题目的录友，看我的理论基础就会感同身受了。
题目讲解 | 视频讲解

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，
例如：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
动态规划中dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的，然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。
大家知道动规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的，对于刷题来说就够用了。

动态规划的解题步骤
对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

### **509. 斐波那契数 ** 很简单的动规入门题，但简单题使用来掌握方法论的，还是要有动规五部曲来分析。
[题目讲解](https://programmercarl.com/0509.%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0.html) | [视频讲解](https://www.bilibili.com/video/BV1f5411K7mo)

这道题比较简单

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int nums[31] = {0};
        nums[0] = 0;
        nums[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            nums[i] = nums[i - 1] + nums[i - 2];
        }
        return nums[n];
    
    }
};

70. 爬楼梯

本题大家先自己想一想，之后会发现，和斐波那契数有点关系。
题目讲解 | 视频讲解 | 力扣题目链接

确定dp数组和含义

dp[i]：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

确定递推公式

从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

初始化

题目说是正整，所以从1开始，显而易见

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        // 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
        int dp[46] = {0};   // 爬到i层有几种方法

        // 2. 确定递推公式
        // 当前这一层，可以从i-1层走一次，也可以从i-2层走一次
        // dp[i] = dp[i - 1] + dp[i + 2];
        // 3. dp数组如何初始化
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        // 4. 确定遍历顺序
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
        // 5. 举例推导dp数组
    }
};

746. 使用最小花费爬楼梯

这道题目力扣改了题目描述了，现在的题目描述清晰很多，相当于明确说第一步是不用花费的。
更改题目描述之后，相当于是文章中「拓展」的解法
题目讲解 | 视频讲解

确定dp数组以及下标的含义

使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
对于dp数组的定义，大家一定要清晰！

确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？
一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

这里确定递推公式的时候，一定要想着当前的dp[i]可以如何通过之前的状态转换过来

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        // 根据题目的描述：第一次跳上0或1下标是不耗费体力的

        // 要到达楼梯顶部，所以要比cost.size()大一阶
        vector<int> dp(cost.size() + 1, 0);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[dp.size() - 1];
    }
};