考研数学复习（1/9）：函数与极限

news2024/7/6 17:34:39

函数与极限

1. 函数的概念

1.1 函数的定义

1.2 函数的表示方法

1.3 函数的分类

1.4 函数的运算

2. 极限的概念

2.1 极限的定义

2.2 极限的性质

2.3 极限的计算方法

2.4 极限的应用

3. 连续函数

3.1 连续函数的定义

3.2 连续函数的性质

3.3 连续函数的分类

3.4 连续函数的应用

4. 极限的应用

4.1 求函数的渐近线

4.2 判断函数的连续性

4.3 求函数的导数

4.4 求函数的积分

4.5 求函数的级数展开式

5. 考研真题分析

5.1 考查重点

5.2 难点

5.3 解题技巧

6. 总结

函数与极限

函数与极限是高等数学的基础，也是考研数学数一中必考的内容。本章主要介绍函数的概念、极限的概念、连续函数的概念以及极限的应用。

1. 函数的概念

1.1 函数的定义

函数是指一个集合到另一个集合的映射，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一一个元素。

更准确地说，函数 f 是一个从集合 X 到集合 Y 的映射，满足以下条件：

定义域： 集合 X 中的元素称为函数 f 的定义域。
值域： 集合 Y 中的元素称为函数 f 的值域。
对应关系： 函数 f 将定义域 X 中的每个元素 x 都对应到值域 Y 中的一个元素 y，记为 y = f(x)。

例如：

函数 f(x) = x^2： 定义域为所有实数，值域为所有非负实数。
函数 g(x) = sin(x)： 定义域为所有实数，值域为 [-1, 1]。

1.2 函数的表示方法

函数可以用以下几种方法表示：

解析式： 用数学表达式来表示函数，例如 f(x) = x^2。
图像： 用坐标系中的曲线来表示函数，例如 y = x^2 的图像是一条抛物线。
表格： 用表格来表示函数，例如：

x	f(x)
1	1
2	4
3	9

1.3 函数的分类

函数可以根据不同的性质进行分类：

奇偶性：
- 奇函数： 满足 f(-x) = -f(x) 的函数。
- 偶函数： 满足 f(-x) = f(x) 的函数。
单调性：
- 单调递增函数： 当 x1 < x2 时，有 f(x1) < f(x2) 的函数。
- 单调递减函数： 当 x1 < x2 时，有 f(x1) > f(x2) 的函数。
周期性：
- 周期函数： 存在一个非零常数 T，使得对于任意 x，有 f(x + T) = f(x) 的函数。
有界性：
- 有界函数： 存在一个常数 M，使得对于任意 x，有 |f(x)| ≤ M 的函数。

1.4 函数的运算

函数可以进行以下运算：

加减乘除： 两个函数 f(x) 和 g(x) 可以进行加减乘除运算，得到新的函数。
复合函数： 将一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到新的函数。

例如：

函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x) 的和为 f(x) + g(x) = x^2 + sin(x)。
函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x) 的复合函数为 f(g(x)) = sin^2(x)。

2. 极限的概念

2.1 极限的定义

极限是指函数在自变量趋于某个值时的函数值的变化趋势。

更准确地说，函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 L，记为：

lim(x->a) f(x) = L

这意味着当 x 无限接近 a 时，f(x) 无限接近 L。

例如：

函数 f(x) = x^2 在 x 趋于 2 时的极限为 4，记为：

lim(x->2) x^2 = 4

这意味着当 x 无限接近 2 时，x^2 无限接近 4。

2.2 极限的性质

极限具有以下重要性质：

极限的唯一性： 如果函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在，那么这个极限是唯一的。
极限的运算性质：
- 极限的和： lim(x->a) [f(x) + g(x)] = lim(x->a) f(x) + lim(x->a) g(x)
- 极限的差： lim(x->a) [f(x) - g(x)] = lim(x->a) f(x) - lim(x->a) g(x)
- 极限的积： lim(x->a) [f(x) * g(x)] = lim(x->a) f(x) * lim(x->a) g(x)
- 极限的商： lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) f(x) / lim(x->a) g(x)，其中 lim(x->a) g(x) ≠ 0。

2.3 极限的计算方法

直接代入法： 如果函数 f(x) 在 x = a 处连续，那么 lim(x->a) f(x) = f(a)。
等价无穷小替换法： 如果函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋于 a 时都是无穷小，并且 lim(x->a) [f(x) / g(x)] = 1，那么 f(x) 和 g(x) 称为等价无穷小。在计算极限时，可以用等价无穷小替换法将 f(x) 替换为 g(x)。
洛必达法则： 如果函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋于 a 时都趋于 0 或无穷大，并且 f'(x) 和 g'(x) 在 x 趋于 a 时都存在，那么：

lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]

例如：

计算 lim(x->0) (sin(x) / x)：
- 直接代入法：sin(0) / 0 = 0 / 0，无法计算。
- 等价无穷小替换法：sin(x) 和 x 在 x 趋于 0 时都是等价无穷小，因此 lim(x->0) (sin(x) / x) = lim(x->0) (x / x) = 1。
- 洛必达法则：lim(x->0) (sin(x) / x) = lim(x->0) (cos(x) / 1) = 1。

2.4 极限的应用

求函数的渐近线： 如果函数 f(x) 在 x 趋于无穷大时，lim(x->∞) f(x) = L，那么直线 y = L 称为函数 f(x) 的水平渐近线。如果函数 f(x) 在 x 趋于 a 时，lim(x->a) f(x) = ∞，那么直线 x = a 称为函数 f(x) 的垂直渐近线。
判断函数的连续性： 如果函数 f(x) 在 x = a 处连续，那么 lim(x->a) f(x) = f(a)。

3. 连续函数

3.1 连续函数的定义

连续函数 是指函数在某点处连续的函数。

更准确地说，函数 f(x) 在 x = a 处连续，如果满足以下条件：

函数 f(x) 在 x = a 处有定义。
lim(x->a) f(x) 存在。
lim(x->a) f(x) = f(a)。

例如：

函数 f(x) = x^2 在 x = 2 处连续，因为：
- f(2) = 4 有定义。
- lim(x->2) x^2 = 4 存在。
- lim(x->2) x^2 = f(2) = 4。

3.2 连续函数的性质

连续函数具有以下重要性质：

介值定理： 如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，并且 f(a) ≠ f(b)，那么对于任意介于 f(a) 和 f(b) 之间的数 y，都存在一个点 c ∈ [a, b]，使得 f(c) = y。
零点定理： 如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，并且 f(a) * f(b) < 0，那么在区间 (a, b) 内至少存在一个点 c，使得 f(c) = 0。
最大值最小值定理： 如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，那么 f(x) 在 [a, b] 上必取得最大值和最小值。

3.3 连续函数的分类

连续函数可以根据不同的性质进行分类：

间断点： 函数在某点处不连续的点称为间断点。
可去间断点： 如果函数 f(x) 在 x = a 处有定义，并且 lim(x->a) f(x) 存在，但 lim(x->a) f(x) ≠ f(a)，那么 x = a 称为 f(x) 的可去间断点。
跳跃间断点： 如果函数 f(x) 在 x = a 处有定义，并且 lim(x->a+) f(x) 和 lim(x->a-) f(x) 都存在，但 lim(x->a+) f(x) ≠ lim(x->a-) f(x)，那么 x = a 称为 f(x) 的跳跃间断点。
无穷间断点： 如果函数 f(x) 在 x = a 处有定义，并且 lim(x->a) f(x) = ∞，那么 x = a 称为 f(x) 的无穷间断点。

3.4 连续函数的应用

求函数的极值： 如果函数 f(x) 在 x = a 处连续，并且 f'(a) = 0 或 f'(a) 不存在，那么 x = a 称为 f(x) 的驻点。驻点可能是极值点，也可能不是极值点。
求函数的拐点： 如果函数 f(x) 在 x = a 处连续，并且 f''(a) = 0 或 f''(a) 不存在，那么 x = a 称为 f(x) 的拐点。拐点是函数曲线的凹凸性发生变化的点。

4. 极限的应用

4.1 求函数的渐近线

水平渐近线： 如果函数 f(x) 在 x 趋于无穷大时，lim(x->∞) f(x) = L，那么直线 y = L 称为函数 f(x) 的水平渐近线。
垂直渐近线： 如果函数 f(x) 在 x 趋于 a 时，lim(x->a) f(x) = ∞，那么直线 x = a 称为函数 f(x) 的垂直渐近线。

4.2 判断函数的连续性

如果函数 f(x) 在 x = a 处连续，那么 lim(x->a) f(x) = f(a)。

4.3 求函数的导数

导数是函数在某点处的变化率，它可以用来求函数的极值、拐点、单调区间、凹凸区间等。

4.4 求函数的积分

积分是导数的逆运算，它可以用来求函数的面积、体积、弧长、曲面面积等。

4.5 求函数的级数展开式

级数展开式可以用来近似地表示函数，它可以用来求函数的积分、求解微分方程等。

5. 考研真题分析

5.1 考查重点

函数的概念和性质
极限的概念和性质
极限的计算方法
连续函数的概念和性质
极限的应用：求函数的渐近线、判断函数的连续性

5.2 难点

极限的计算：洛必达法则、等价无穷小替换法
连续函数的性质：介值定理、零点定理、最大值最小值定理
极限的应用：求函数的渐近线、判断函数的连续性

5.3 解题技巧

掌握极限的定义和性质
熟练运用极限的计算方法
理解连续函数的概念和性质
灵活运用极限的应用

6. 总结

概念	描述
函数	一个集合到另一个集合的映射
极限	函数在自变量趋于某个值时的函数值的变化趋势
连续函数	函数在某点处连续的函数
极限的应用	求函数的渐近线、判断函数的连续性、求函数的导数、求函数的积分、求函数的级数展开式