计算机图形学入门20：加速光线追踪

1.前言

前文说了Whitted-style光线追踪技术的原理以及光线与平面的交点计算方式，对于现在应用最广的Polygon Mesh显式曲面来说，一个复杂场景中的多边形面总数可能达到千万甚至亿万以上，如果每个像素发射光线都和场景中每个平面进行求交点计算，那么会进行像素数量 x 光线弹射次数 x 多边形平面数量次光线与平面交点计算，计算会非常庞大，非常慢。

例如下图中的经典场景San Miguel，面数达到10.7M，渲染一张1080P图片，光线平均3次弹射，共需要进行66万亿次交点计算。

这样庞大的计算量是完全不能接受的，而一条光线在场景中弹射时和绝大多数平面是不会相交的，因此需要通过一些算法进行优化，这个算法就是包围盒技术(Bounding Box)。

2.轴对齐包围盒(Axis-Aligned Bounding Box)

用简单的方盒子称为包围盒（Bounding Box）将物体完全包裹，如果光线与包围盒没有交点，那显然不会与物体中任何三角面有交点，那也就没必要去遍历物体的三角面了。

在几种包围盒方式中，AABB即轴对齐包围盒因为包围盒三组对面分别与三个空间坐标轴平行，便于计算而使用最为广泛（下图中间）。

那么AABB包围盒就可以理解为三个不同的对面形成的交集，这样可以方便进行光线与包围盒的求交运算。如下图所示。

那么到底如何求光线与包围盒的交点呢？先将问题简化成直线与 $x_{0}x_{1}$ 、 $y_{0}y_{1}$ 两对平面的交点，将三维转化成二维。

如上图最左边所示，求光线与一对 x 平面(左右无限远)的交点，将先进入的交点(距离光线起点 o 最近的那个)记为 tmin，后出去的交点记为 tmax。紧接着如中间图所示计算出光线与 y 平面(上下无限远)的两个交点同样记为另外一组 tmin, tmax。注意：如果任意的 t < 0，那么这代表的是光线反向传播与对应平面的交点。

那么如何知道光线在什么时候进入盒子，又在什么时候出去了盒子呢？

对于二维来说，如上图最右边所示，在 tmin 时间进入了盒子，在 tmax 时间出去了盒子。这实际就是求两组交点构成的线段的交集。那么这个结论是怎么得出的呢？

回想三维的情况，三维的盒子就是三个对面，最重要的核心思想：

1.只有当光线进入了所有的平面才算是真正进入了盒子中。

2.只要当光线离开了任意平面就算是真正离开了盒子。

那么，就可以得到一种算法，在三维中三组不同的对面各计算一次进入对面的最小时间 tmin 和离开对面最大时间 tmax ，时间不管是正还是负。最后算出三对进入和离开对面的时间交集，就得出了进入盒子时间 $t_{enter}$ 和离开盒子时间 $t_{exit}$ 。如下图所示。

但光线不一定会与包围盒有交点，那么什么条件下才会有交点呢？

如果 $t_{enter}$ < $t_{exit}$ 的时候，说明光线所在直线一定在盒子中待过一段时间，也必然存在交点。但光线并不是直线，而是射线，除了保证 $t_{enter}$ < $t_{exit}$ (光线在盒子待过一段时间)，还要考虑时间 t 是否为负，保证物理正确性。具体如下：

1.如果 $t_{exit}$ < 0，说明包围盒在光线背后，就不会有交点。

2.如果 $t_{exit}$ >= 0 并且 $t_{enter}$ < 0，说明光线是从包围盒内发射出来的，就有一个交点。

3.如果 $t_{exit}$ >= 0 并且 $t_{enter}$ >= 0，说明包围盒在光线前面，有两个交点。

因此，只要满足 $t_{enter}$ < $t_{exit}$ 并且 $t_{exit}$ >= 0 ，光线就一定和包围盒有交点。

根据前文中光线与平面的交点算法，光线和包围盒的求交也很容易写出，如下图下半部分所示。

以一对 x 轴的平面为例，两个平面肯定垂直于 x 轴，因此可以直接求光线在 x 轴方向的分量，代入公式从而直接得到 t 值，计算过程比光线与任意平面交点的算法要快速得多，这也是AABB包围盒得到广泛使用的原因。

3.使用AABB加速光线追踪

3.1 AABB划分方法

虽然对场景中的每个物体使用AABB包围盒技术已经可以大幅加快光线追踪效率，但实际使用中难免遇到以下两种极端情况：

整个场景主要只有一个极其复杂的单一模型，那么只对这一个物体做包围盒的话，相当于对效率没有提升。
整个场景充斥着大量的细小模型，如植物、建筑之类的，每个模型可能只有很少的面，如果此时对每个物体求包围盒，得到的包围盒数量会非常多，效率提升有限。

基于以上两点考虑，AABB不应只局限于以物体模型为单位，可以更加精细的划分成以一定数量的三角面为单位，并且对于场景的许许多多包围盒来说应该要有一种数据结构将其统一起来。

因此为了更好地划分场景形成不同的AABB，使得划分之后的AABB能够更好的加速光线追踪，在AABB的基础上出现了多种划分方法。

3.2 均匀网格划分(Uniform Grids Partitions)

3.2.1 步骤和定义

先从最简单的均匀网格划分开始。步骤如下。

1.创建一个包裹整个场景的大包围盒。如下图所示。

2.在大包围盒中创建均匀分布的网格。如下图所示。

3.将每个物体对象存储在重叠的单元格中。判定哪些小方格有物体信息，也就是与物体表面相交的小方格。注意：下图中右上角没涂对。

以上就是在光线追踪之前进行了预处理，然后就可以进行光线追踪了。在光线追踪计算时，根据光线的方向找到所有相交的小方格，倘若小方格中存储有物体，再进一步与方格中的物体模型或是三角形面求交(假设光线与小方格求交是很快的，与物体求交比较慢)。如下图所示。

均匀网格划分将空间划分为多个均匀的小的AABB，再根据光线方向找出相交的小方格(这一步并不需要判断所有方格，可以用类似brenham的方法来做)，再判断小包围盒中是否存储了模型信息，若有则进一步求交。

3.2.2 网格分辨率影响

这种划分方法假设了找出相交方格要比直接判断与物体求交相对容易，因此划分方格数的数量也是影响性能的关键，方格太少就没有加速效果，方格太多则判断与方格的求交可能会拖累效率。如下图所示，左侧是方格只有一个，没有加速效果，而右侧是方格太过密集，反而增加了判断影响效率。

所以网格的数量(分辨率)应该有一个平衡，不能太稀疏也不能太密集。

所以这种方法最适合的场景就是大型对象集合，并且大小在空间中均匀分布。如下图这种场景。

如果场景较为空旷，物体较小且相互距离较远，那么均匀分割的效果就会很差了，因为会有很多无效的方格与光线的求交过程。

3.3 空间划分(Spatial Partitions)

3.3.1 定义

均匀网格划分适合场景中密集且均匀分布，那么当场景中存在大量空白区域就不适合了。所以就需要使用空间划分，密集的区域用小方格，空白区域用大方格。

3.3.2 分类

空间划分主要有Oct-Tree、KD-Tree以及BSP-Tree等划分方法。如下图所示。注意：这些划分在2D和3D中都可以使用，以下以2D为例。

1.Oct-Tree也就是八叉树，每次将空间分为8个相等的部分（三维空间横竖平各切一刀，因为图中是二维显示，所以看起来只划分了4部分），再递归的对子空间进行划分。当划分的子空间足够小或是空间中三角形面的数量很少的时候会停止划分。这种方法的显著缺点是，随着维度的上升划分的空间数量会呈指数级增长。

2.KD-Tree其每次将空间划分为两部分，且划分依次沿着 x 轴，y 轴，z 轴，即如图中所示。第一次横着将二维空间分为上下，第二次再竖着将上下两个子空间分别划分为左右部分，依次交替划分，划分时不是按空间大小而是按模型数量或者三角形数量进行均匀划分，终止条件与八叉树类似。

3.BSP-Tree其与KD-Tree类似，唯一不同的是划分不再沿着固定一轴，可以任意方向划分。缺点自然是划分的空间没有规则性，求交比较困难。

同样，空间划分也是在光线追踪之前进行预计算。

接下来从一个例子具体介绍KD-Tree。