背包问题
1. 01背包问题
解题思路：
题目
2. 01背包问题 - AcWing题库
代码
优化前：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
将f[N][N]改为一维数组进行优化：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = m; j >= v[i]; j -- ) {
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
2. 完全背包问题
解题思路：
优化：
对比01背包问题，发现只有一点点不一样：
（上面是01背包问题的方程，下面是完全背包问题的方程）
题目
3. 完全背包问题 - AcWing题库
代码
朴素做法：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ ) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + k * w[i]);
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
优化版1：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
终极优化版：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = v[i]; j <= m; j ++ ) {
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
3. 多重背包问题
朴素版：
f[i][j] = max(f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k); // k = 0, 1, 2,..., s[i]
题目
简单版：
4. 多重背包问题 I - AcWing题库
数据更难版：
5. 多重背包问题 II - AcWing题库
代码
朴素版：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
int n, m;
int main() {
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d%d", &v[i], &w[i], &s[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
优化版：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 25000, M = 2010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
int cnt = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
int a, b, s;
cin >> a >> b >> s;
int k = 1;
while(k <= s) {
cnt ++;
v[cnt] = k * a;
w[cnt] = k * b;
s -= k;
k *= 2;
}
if(s > 0) {
cnt ++;
v[cnt] = s * a;
w[cnt] = s * b;
}
}
n = cnt;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = m ; j >= v[i]; j -- ) {
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
4. 分组背包问题
9. 分组背包问题 - AcWing题库
解题思路：
题目
有 𝑁 组物品和一个容量是 𝑉 的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 𝑣_{𝑖𝑗}，价值是 𝑤_{𝑖𝑗}，其中 𝑖 是组号，𝑗 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行有两个整数𝑁，𝑉，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 𝑁 组数据：
- 每组数据第一行有一个整数 Si𝑆𝑖，表示第 i𝑖 个物品组的物品数量；
- 每组数据接下来有𝑆𝑖 行，每行有两个整数 𝑣𝑖𝑗,𝑤𝑖𝑗，用空格隔开，分别表示第 𝑖 个物品组的第 𝑗 个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<𝑁,𝑉≤100
0<𝑆𝑖≤100
0<𝑣𝑖𝑗,𝑤𝑖𝑗≤100
输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例：
8
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
cin >> s[i];
for(int j = 0; j < s[i]; j ++ ) {
cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
}
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = m; j >= 0; j -- ) {
for(int k = 0; k < s[i]; k ++ ) {
if(v[i][k] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
}
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
