虚幻引擎 Gerstner Waves -GPU Gems 从物理模型中实现有效的水体模拟

news2024/12/25 23:45:50

这篇文章重点在于结合GPU Gems一书中有关Gerstner Waves 的数学公式，在虚幻引擎中复现正确的Gerstner Waves和正确的法线

文中内容整理自书中，并附带我的理解，与在虚幻引擎中的实现，可以参考原文看这篇文章，原文网上很多，我这里就不转载了

1.2.1选择波形

我们需要一组参数来定义每个波形。如图1-2所示，这些参数包括：

Wavelength _波长（ $L$ ）
- 世界空间中波峰到波峰之间的距离。
- 波长 $L$ 与角频率 $w$ 之间的关系为 $w = \frac{2\pi}

这里将会出现第一个坑，包括英伟达官方的

{L}$。

Amplitude _振幅（ $A$ ）
- 从水平面到波峰的高度。
Speed _速度（ $S$ ）
- 波峰每秒前进的距离。将速度表示为相位常数 $\varphi$ 更为方便。
- $\varphi = S \times\frac{2\pi}{L}$

这里将会出现第一个坑，包括英伟达官方的文档，这里都丢失了一个π，原书中为 w=2pi/L,下同

Direction _方向（ $D$ ）
- 垂直于波阵面的水平向量，波峰沿着波阵面运动。

为了在场景的动态中提供变化，我们将在一定的约束条件下随机生成这些波浪参数。随着时间的推移，我们将持续地将一个波浪渐隐，然后再以一组不同的参数将其渐显。
事实证明，这些参数是相互依赖的。必须仔细的为每个波浪生成一整套参数，这些参数需要以一种令人信服的方式组合在一起。

新建一个函数，我们先把上方出现的变量input写入:

1.2.2 法线和切线

因为表面是显式函数，所以我们可以直接计算任何点的表面方向，而不需要依赖有限差分技术。
副法线向量 $B$ 和切线向量 $T$ 是分别 $x$ 和 $y$ 方向的偏导数。对于2D水平面中的任何点 ( $x$ , $y$ )，表面上的三维位置 $P$ 是：

Equation 6a _公式6a

$\mathbf{N}(x,y)=\mathbf{B}(x,y)\times\mathbf{T}(x,y)$

我们先跳过这个，最后再来处理法线

格斯特纳波^{GerstnerWaves}

为了有效的模拟，我们需要控制波浪的陡峭程度。如前所述，正弦波呈现出圆润的外观——这可能正是我们想要的平静、田园诗般的池塘效果。但对于粗犷的海面，我们需要形成更尖锐的波峰和更宽阔的波谷。我们可以使用公式8a和8b来实现所需的形状，但我们选择了相关的格斯特纳波。
GerstnerWaves早在有计算机图形学之前就被开发出来，用于在物理基础上模拟海水。因此GerstnerWaves提供了一些表面的微妙运动，这些变化不明显但是非常可信。（详细描述参见Tessendorf 2001）。
我们选择GerstnerWaves，因为它们有一个常被忽视的特性：将，这正是我们希望顶点集中的地方，如图1-5所示。

GerstnerWaves

图1-5 GerstnerWaves

这是GerstnerWaves函数：

Equation 9 _公式9

$\mathbf{P}\left(x, y, t\right) = \left(\begin{array}{l} \begin{alignedat}{3} &x&+&\sum \left(Q_{i}A_{i} \times \mathbf{D}_{i}.x \times \cos\left(w_{i}\mathbf{D}_{i} \cdot (x, y) + \varphi_{i}t\right)\right),\\ &y&+& \sum \left(Q_{i}A_{i} \times \mathbf{D}_{i}.y \times \cos\left(w_{i}\mathbf{D}_{i} \cdot (x, y) + \varphi_{i}t\right)\right),\\ & & &\sum \left(A_{i} \sin\left(w_{i}\mathbf{D}_{i} \cdot (x, y) + \varphi_{i}t\right)\right) \end{alignedat} \end{array}\right)$

∑为求和，∑()也就是所有波加在一起的，，我们想要先实现一个波，那么公式可以写为：
Px = Q×A×Dx×cos(w×D·(x,y) + φ×t);
Py = Q×A×Dy×cos(w×D·(x,y) + φ×t);
Pz =      A       ×sin(w×D·(x,y) + φ×t);
能看到我们想实现做这个公式还需要两个变量，xy和t，他们分别是：

这里 $Q_i$ 是一个控制波浪陡峭程度的参数。
对于单个波浪 $i$ ， $Q_i=0$ 产生常见的滚动正弦波，而 $Q_i = \frac{1}{w_i A_i}$ 产生尖锐的波峰。应避免使用较大的 $Q_i$ 值，因为它们会在波峰上方形成环。
实际上，我们可以将 $Q$ 作为“陡峭程度”参数留给制作艺术家来指定，允许范围是 $0$ 到 $1$ ，并使用 $Q_i = \frac{Q}{w_i A_i \times \text{numWaves}}$ 来变化，从完全平滑的波浪到我们能产生的最尖锐的波浪。

值得注意的是，公式3和公式9之间唯一的区别是顶点的横向移动。他们的高度是相同的。这意味着我们不再有一个严格的高度函数。即， $\mathbf{P}(x,y,t).x \neq x$ 。然而，该函数仍然容易求导，并且有一些项可以方便的消去。求导后得到切线空间的基础向量是：

Equation 10 _公式10

$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \begin{alignedat}{3} &1&-&\sum\left(Q_i \times \mathbf{D}_i.x^2 \times WA \times S()\right),\\ & &-&\sum\left(Q_i \times \mathbf{D}_i.x \times \mathbf{D}_i.y \times WA \times S()\right),\\ & & &\sum\left(\mathbf{D}_i.x \times WA \times C()\right) \end{alignedat} \end{pmatrix}$

Equation 11 _公式11

$\mathbf{T}= \begin{pmatrix} \begin{alignedat}{3} & &-&\sum\bigl(Q_{i}\times\mathbf{D}_{i}.x\times\mathbf{D}_{i}.y\times WA\times S()\bigr),\\ &1&-&\sum\bigl(Q_{i}\times\mathbf{D}_{i}.y^{2}\times WA\times S()\bigr),\\ & & &\sum\bigl(\mathbf{D}_{i}.y\times WA\times C()\bigr) \end{alignedat} \end{pmatrix}$

Equation 12 _公式12

$\mathbf{N}=\begin{pmatrix} \begin{aligned} &{}- \sum\bigl(\mathbf{D}_i.x\times WA\times C()\bigr),\\ &{}- \sum\bigl(\mathbf{D}_i.y\times WA\times C()\bigr),\\ 1 &{}- \sum\bigl(Q_i\times WA\times S()\bigr) \end{aligned} \end{pmatrix}$

其中:
$WA=w_{i}\times A_{i},$
$S()=\sin\left(w_{i}\times\mathbf{D}_{i}\cdot\mathbf{P}+\varphi_{i}t\right)$
$C()=\cos\bigl(w_{i}\times\mathbf{D}_{i}\cdot\mathbf{P}+\varphi_{i}t\bigr)$
这里的 $P$ 指的是 ( $x$ ， $y$ )
这些公式不像4b、5b和6b方程那样简洁明了，但它们计算起来非常高效。

在形成波峰环的背景下，仔细观察法线的 $z$ 分量证明了这一点非常有趣。虽然 Tessendorf (2001) 从流体动力学的纳维-斯托克斯¹描述和“李变换技术²”中推导出他的“切碎效应³”，最终结果是在频率域中表达的格斯特纳波的一个变体。
在频率域中，可以避免并检测到波顶的环形，但在空间域中，我们可以清楚地看到正在发生的事情。
当 $Q_i \times w_i \times A_i$ 的和大于 $1$ 时，我们法线的 $z$ 分量在峰值处可能变为负值，因为我们的波浪会在自身上方形成环。
只要我们选择的 $Q_i$ 使得这个和始终小于或等于 $1$ ，我们将形成尖锐的峰值但永远不会形成环。

1.2.4参数解释

波长和速度 ^Wavelength ^Speed

我们首先选择合适的波长。与其追求现实世界的分布，不如最大化我们能承担的少数波浪的效果。
相似长度的波浪的叠加突出了水面的动态性。
因此，我们选择一个中值波长，并在该长度的一半到两倍之间生成随机波长。中值波长在创作过程中被编写，它可以随时间变化。
例如，在暴风雨期间，波浪可能比晴朗平静时显著更大。
注意，我们不能改变正在活动的波的波长。即便是逐渐改变，波浪的波峰也会向原点扩展或收缩，这看起来非常不自然。
因此，我们改变当前的平均波长，随着时间的推移，当波浪淡出以后，它们将基于新的长度重新生成。方向也是如此。

根据波长，我们可以轻松计算它在表面上的传播速度。Tessendorf 2001中给出忽略高次项的传播关系：