一、曲线方程

1. 问题描述

现有数学模型为 $f(x)=A{e}^x+Bsin(x)+C{x}^D$ ，但不知道 $A$ 、$B$ 、$C$ 、$D$ 各参数系数，实验数据中含有噪声即 $f(x)=A{e}^x+Bsin(x)+C{x}^D+noise$ ,此时用ceres进行拟合。

2. 实现方案

2.1 含噪声的数据生成
以 $A=0.02$ 、$B=3.2$ 、$C=1.1$ 、$D=3$ 为例进行实验数据生成。

// 生成曲线对应真值数据
double function(double x){
   return 0.02*exp(x)+3.2*sin(x)+1.1*pow(x,3);
}

// 真值数据添加噪声

std::vector<std::pair<double, double>> measurement_data_generation(double begin,double end,double stride,double (*fun)(double)){
   std::vector<std::pair<double,double>> out;
   
   //创建一个 std::mt19937 类型的随机数生成器 mt，并使用当前时间的微秒数作为种子，以确保每次运行时生成的随机数序列不同
   std::mt19937 mt;
   mt.seed(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
   for(double i=begin;i<end;i=i+stride){
       // 使用 std::uniform_real_distribution<double>(0, 20) 生成一个在 0 到 20 之间的随机 double 值
       double y_=std::uniform_real_distribution<double>(0,20)(mt);

       // 将随机值 y_ 与通过调用 fun(i) 得到的值相加
       y_=y_+fun(i);
       out.push_back(std::make_pair(i,y_));
   }
   return out;
}

2.2 自定义残差计算模型
根据数学模型搭建ceres残差计算模型：

struct my_ceres_test{
public:
    my_ceres_test(double x,double y):x_(x),y_(y){}
    template<typename T>
    bool operator()(const T* const A, 
                    const T* const B, 
                    const T* const C,
                    const T* const D, 
                    T* residual)const{
        residual[0]=y_-A[0]*exp(x_)-B[0]*sin(x_)-C[0]*pow(x_,D[0]);
        return true;
    }
    
private:
    double x_;
    double y_;
};

2.3 完整代码
完整程序如下：

#include <ceres/ceres.h>
#include <iostream>
#include "glog/logging.h"
#include <random>
#include <chrono>
#include <cmath>

// #define MATPLOT

#ifdef MATPLOT
#include "matplotlibcpp.h"
#endif

// 生成曲线对应真值数据
double function(double x){
    return 0.02*exp(x)+3.2*sin(x)+1.1*pow(x,3);
}

/**
 * @description: 真值数据添加噪声
 * @date: 2024/06/23
 * @param[i]: begin：数据生成的起始值 
 * @param[i]: end：数据生成的结束值（不包含在内）
 * @param[i]: stride：每次迭代的步长
 * @param[i]: fun：一个函数指针，指向一个接受一个 double 类型参数并返回一个 double 类型值的函数
 * @return: std::vector<std::pair<double, double>>
**/

std::vector<std::pair<double, double>> measurement_data_generation(double begin,double end,double stride,double (*fun)(double)){
    std::vector<std::pair<double,double>> out;
    
    //创建一个 std::mt19937 类型的随机数生成器 mt，并使用当前时间的微秒数作为种子，以确保每次运行时生成的随机数序列不同
    std::mt19937 mt;
    mt.seed(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
    for(double i=begin;i<end;i=i+stride){
        // 使用 std::uniform_real_distribution<double>(0, 20) 生成一个在 0 到 20 之间的随机 double 值
        double y_=std::uniform_real_distribution<double>(0,20)(mt);

        // 将随机值 y_ 与通过调用 fun(i) 得到的值相加
        y_=y_+fun(i);
        out.push_back(std::make_pair(i,y_));
    }
    return out;
}

//y=A*exp(x)+B*sinx+C*x^3,  A=0.02,B=3.2,C=1.1,D=3
struct my_ceres_test{
public:
    my_ceres_test(double x,double y):x_(x),y_(y){}
    template<typename T>
    bool operator()(const T* const A, 
                    const T* const B, 
                    const T* const C,
                    const T* const D, 
                    T* residual)const{
        residual[0]=y_-A[0]*exp(x_)-B[0]*sin(x_)-C[0]*pow(x_,D[0]);
        return true;
    }
private:
    double x_;
    double y_;
};

int main(int argc,char** argv){

    google::InitGoogleLogging(argv[0]);
    ceres::Problem problem;

    double A=0.0, B=0.0, C=0.0, D=1.0;

    double begin=1.0, end=10.0, stride=0.02;
    std::vector<std::pair<double,double>> datas = measurement_data_generation(begin, end, stride, function);
    std::cout << "\n test data sum: " << datas.size() <<" \n" << std::endl;

    for(auto data_:datas){
        ceres::CostFunction *cost_function=new ceres::AutoDiffCostFunction<my_ceres_test,1,1,1,1,1>(new my_ceres_test(data_.first,data_.second));
        problem.AddResidualBlock(cost_function,nullptr,&A,&B,&C,&D);
    }

    ceres::Solver::Options options;
    options.minimizer_progress_to_stdout=true;
    ceres::Solver::Summary summary;
    ceres::Solve(options, &problem, &summary);

    // std::cout<<summary.FullReport()<<std::endl;
    std::cout << summary.BriefReport() << "\n";

    std::cout<<" A = "<<A<<"\n B = "<<B<<"\n C = "<<C<<"\n D = "<<D<<std::endl;

#ifdef MATPLOT
    std::vector<double> x,y,y_;
    for(auto data_:datas){
        x.push_back(data_.first);
        y.push_back(data_.second);
        y_.push_back(A*exp(data_.first)+B*sin(data_.first)+C*pow(data_.first,D));
    }
    matplotlibcpp::figure_size(1200,800);
    matplotlibcpp::named_plot("$y=Ae^x+Bsinx+Cx^3+n$",x,y,"bx--");
    matplotlibcpp::named_plot("fitied,$y=\\hat{A}e^x+\\hat{B}sinx+\\hat{C}x^3$",x,y_,"r-");
    matplotlibcpp::legend();
    matplotlibcpp::grid(true);
    matplotlibcpp::title("my_ceres_test plot");
    matplotlibcpp::show();
#endif
    return 0;

}

注意：取消上述代码 #define MATPLOT 注释，可使用 matplotlibcpp 工具进行数据可视化
 
matplotlibcpp 的源码安装：

# 先下载上述链接 matplotlibcpp源码
sudo apt-get install python3.8-dev
sudo apt-get install python3-dev
mkdir matplotlib-cpp-master/build && cd matplotlib-cpp-master/build
cmake ..
make -j4
sudo make install

CMakeLists.txt 如下：

cmake_minimum_required(VERSION 3.16)
project(my_test)
set(CMAKE_CXX_STANDARD 14)


# Ceres库
find_package(Ceres REQUIRED)
include_directories(${CERES_INCLUDE_DIRS})

# matplotcpp 依赖
find_package(PythonLibs REQUIRED)
include_directories(
        ${PYTHON_INCLUDE_DIRS}
)

add_executable(my_test_matplot my_test_matplot.cpp)
target_link_libraries(my_test_matplot ${CERES_LIBRARIES} ${PYTHON_LIBRARIES})

2.4 优化过程及结果
由图可知，测试数据共451组；Ceres最终找到的解决方案：$A=0.0239231,B=8.34126,C=1.70188,D=2.78483$ 目标函数值为 $8832.095$ (优化前目标函数值为 $66298520$)。


如下所示，使用 matplotlibcpp 进行数据可视化：