双指针算法专题（移动零复写零快乐数）

前言

1. 移动零

（1）题目及示例

（2）一般思路

（3）双指针解法

2. 复写零

（1）题目及示例

（2）一般解法

（3）双指针解法

3. 快乐数

（1）题目及示例

(2) 题目分析及思路

（3）证明

总结

前言

本文是讲解三道双指针相关的OJ题目，我会慢慢深入，一般的题目从暴力解法讲起，再进行优化，使用双指针。本文附有详细的图文示例，干货多多。

1. 移动零

（1）题目及示例

题目：给定一个数组 nums，编写一个函数将所有 0 移动到数组的末尾，同时保持非零元素的相对顺序。请注意 ，必须在不复制数组的情况下原地对数组进行操作。

示例 1:

输入: nums = [0,1,0,3,12]

输出: [1,3,12,0,0]

示例 2:

输入: nums = [0]

输出: [0]

（2）一般思路

这个题目的要求是把所有的零放在后面，并且非零元素的顺序保持不变。

正常来说，我们可以通过开辟一个新数组，将非零元素按照顺序拷贝下来，后面剩下的元素置为0，再拷贝回去。因为只需要遍历几遍数组，时间复杂度是O(N)，需要新开辟一个空间大小相同的数组，空间复杂度也是O(N)。

下面是解题代码，其中需要注意的是，创建好vector类tmp对象，需要改变容器的包含元素的个数，即改变size的大小，可以减少频繁扩容带来的消耗。

void moveZeroes(vector<int>& nums)
{
    vector<int> tmp;
    int n = nums.size();
    tmp.resize(n);

    for (int i = 0, j = 0; j < n; )
    {
        if (i < n)
        {
            if (nums[i] != 0)
                tmp[j++] = nums[i++];
            else
                ++i;
        }
        else
            tmp[j++] = 0;
    }
    
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = tmp[i];
}

（3）双指针解法

如果想要在数组原地进行修改，就要使用双指针算法。那么何为双指针呢？

双指针算法顾名思义是使用两个指针的算法，但是不仅于此。我们还可以使用下标来代替指针，其中的内核是类似两个指针一起移动来记录信息的思路。双指针算法可以用来解决划分区间的题目。

观察示例中输出的数组，这些数组被划分为两个区域，非零和只有零的区域。我们创建两个整型变量，名为dest和cur，表示数组元素的下标，通过这两个变量来划分区域。
我们要做的是，将cur向后移动，如果碰到0，继续移动，如果碰到非0的数字，dest向前移动一格，然后交换这两个变量所指向元素的值。不断重复这个过程，直到cur指向最后一个元素的下一个位置，就结束了。
以数组{0，1，0，3，5}为例，一开始dest赋值为-1，cur赋值为0。dest一开始没有指向数组，cur指向第一个元素。

cur往后移动，遇到非零元素，dest先往后移动一步，然后交换元素内容。

cur继续往后走，遇到零，不停下来。再往后走遇到3，非零元素。dest往后走一步，并交换两个变量所指元素内容。

cur继续往后走，遇到非零元素。dest完后走一步，再次交换元素内容。最后，cur走到末尾元素的下一个位置时，就结束这个操作。此时你会发现，非0元素全部排在前面，0元素排在后面，而dest和cur就划分出了这两个区域。

代码如下，创建两个整型变量，使用for循环，循环继续条件是cur变量的值小于数组元素个数大小，即指向最后一个元素的下标。当遇到非零元素，dest先加加，然后再交换各自指向的元素。

void moveZeroes(vector<int>& nums) 
{
    int cur, dest;
    for (cur = 0, dest = -1; cur < nums.size(); cur++)
        if (nums[cur] != 0)
            swap(nums[++dest], nums[cur]);

}

2. 复写零

（1）题目及示例

题目：给你一个长度固定的整数数组 arr ，请你将该数组中出现的每个零都复写一遍，并将其余的元素向右平移。注意：请不要在超过该数组长度的位置写入元素。请对输入的数组就地进行上述修改，不要从函数返回任何东西。

示例 1：

输入：arr = [1,0,2,3,0,4,5,0]

输出：[1,0,0,2,3,0,0,4]

解释：调用函数后，输入的数组将被修改为：[1,0,0,2,3,0,0,4]

示例 2：

输入：arr = [1,2,3]

输出：[1,2,3]

解释：调用函数后，输入的数组将被修改为：[1,2,3]

（2）一般解法

如果使用额外的空间，再创建一个相同大小空间的临时数组，并将原数组元素全部拷贝过来。然后，使用两个整型变量表示两个数组的下标索引，临时数组遇到非零正常拷贝，遇到0，拷贝两个下来。
代码如下，只需要遍历一遍数组，时间复杂度是O(N)，但是消耗了原数组相同元素的空间，空间复杂度也是O(N)。

void duplicateZeros(vector<int>& arr)
{
    int n = arr.size();
    vector<int> tmp(arr);

    for (int i = 0, j = 0; j < n; i++)
    {
        if (tmp[i] != 0)
        {
            arr[j++] = tmp[i];
        }
        else
        {
            if (j + 1 < n)
                arr[j] = arr[j + 1] = 0;
            else
                arr[j] = 0;

            j += 2;
        }
    }
}

（3）双指针解法

这道题不允许开辟一个新的数组，必须就地修改。不过这道题也是关于处理区域划分的问题，可以使用双指针。

按照第一道题的方法，创建两个表示下标的变量，往后移动划分区域，遇到0元素，往后再添加一个0，但是会覆盖后面的元素，需要临时变量存储，但是不直到需要几个临时变量，所以不能按照第一道题的方法。
不过可以先使用类似第一题的双指针解法找到原数组填充完0后的最后一个数字，再从后往前使用双指针解法填充数组，这样就不会有被覆盖的风险。

解法操作：先定义两个整型变量dest和cur，分别赋值为-1和0，代表首元素前一个位置的下标和首元素的下标。判断cur下标的元素是否为0，如果为不为0，dest变量就加一，如果为0，dest下标加二，表示填充两个零。不管dest加多少，cur只能加一，表示向后移动一个位置。
在下面图示中，我们以数组[1，0，2，3，0，4，5，0]为例。一开始cur下标的元素不为0，dest加一，cur也加一。dest等于0，cur等于1。然后，此时cur下标的元素为0，dest加二，cur加一，都指向2这个元素。

如上图，结束的条件是dest的值大于等于末尾元素下标值。此时，cur指向的数字就是扩充后数组的最后一个元素。我们仿照第一题的方法从后往前移动两个变量，这样就不会有前面元素覆盖后面元素的问题。
解法操作：我们先判断cur下标的元素是否为0，如果不为0，dest指向的元素值赋值为cur指向的元素，dest减一；如果为0，dest指向的元素和前一个元素，都赋值为0，dest减二。不管dest如何变化，cur都要减一。重复这个操作，直到cur的值变为首元素下标的0时，才停止。
根据解法操作，先判断cur指向元素，不是0，dest指向的元素赋值为4，dest减一，cur也减一

下面是的图示过程，都是按照解法操作，进行赋值，对变量进行加加，在这里体现为向左移动。当

不过需要注意的是，如果你按上面的解法操作写出代码并提交，会有上图堆栈溢出的报错，说明越界访问。这是为什么呢？
我们将上面示例的数组中的4改成0，即是[1，0，2，3，0，0，5，0]，然后进行第一次双指针算法，找到扩充后的最后一个数字。但是dest指向末尾元素的下一个位置，这是为何？
0元素要乘于两倍，所以不过如何最后0出现偶数次。我们这里的总数是偶数，但是包含在内的非0元素有奇数个，奇数加上偶数还是奇数，并且刚好0元素出现在扩充数组后的最后一个位置上，所以dest指向的不是最后一个元素。同理，当总数是奇数个，0元素一定是偶数，如果非0元素也是偶数个时，dest也会指向末尾元素的下一个位置。

如果不对这个情况进行处理，按照之前的从后往前移动进行操作，你会发现首元素放在越界的位置，此时下标为-1。

如果要避免这个情况，需要在第一次双指针操作之后，就让dest减二，让它指向倒数第二个元素，并且最后一个元素位置赋值为0，cur也减一，指向前一个元素。

如果看完上面的图示，充分理解之后，写出代码不是困难的事情。

    void duplicateZeros(vector<int>& arr) 
    {
        int cur1 = 0, dest1 = -1;
        
        //找到修改完后数组的最后一个元素的位置
        while (cur1 < arr.size())
        {
            if (arr[cur1] == 0)
                dest1 += 2;
            else
                ++dest1;

            //当dest1大于等于末尾元素下标，就终止循环
            if (dest1 >= arr.size() - 1 )
                break;

            ++cur1;
        }

        //处理dest指向末尾元素的后一个位置的情况
        if (dest1 == arr.size())
        {
            arr[arr.size() - 1] = 0;
            cur1--;
            dest1 -= 2;
        }
        
        //第二次双指针操作，从后往前修改数组
        while (cur1 >= 0)
        {
            if(arr[cur1] != 0)
            {
                arr[dest1--] = arr[cur1];
            }
            else
            {
                arr[dest1] = arr[dest1 - 1] = 0;
                dest1 -= 2;
            }
            --cur1;
        }
    }

3. 快乐数

（1）题目及示例

题目：编写一个算法来判断一个数 n 是不是快乐数。

「快乐数」 定义为：

对于一个正整数，每一次将该数替换为它每个位置上的数字的平方和。
然后重复这个过程直到这个数变为 1，也可能是 无限循环 但始终变不到 1。
如果这个过程 结果为 1，那么这个数就是快乐数。

如果 n 是 快乐数 就返回 true ；不是，则返回 false 。

示例 1：

输入：n = 19

输出：true

解释：

$1^{2}+9^{2}=82$

$8^{2}+2^{2}=68$

$6^{2}+8^{2}=100$

$1^{2}+0^{2}+0^{2}=1$

示例 2：

输入：n = 2

输出：false

(2) 题目分析及思路

这道题本来有些难度，但是题目中有指出这个过程会成一个循环，所以就不用考虑不成环的情况，不然比较棘手。

我们以11举例，两个1的平方相加等于2，以此类推到20，其中2的平方等于4，最后成为一个循环。用题目给的示例1数字19，最后到1。其实也是一个循环，1的平方等于1，是它本身。所以我们可以使用环形链表中的快慢双指针，先找到进循环的第一个数字，判断是否是1，如果是就是快乐数。
其中使用快慢双指针，慢指针走一步，快指针走两步，就能寻找环形链表循环的结点入口的原因。我这篇《链表OJ题第二弹：环形链表和环形链表 II》中有详细讲解。http://t.csdnimg.cn/IsmYF

这是判断环形链表的代码。

bool hasCycle(struct ListNode *head) 
{
    struct ListNode* slow = head, *fast = head;
    while(fast && fast->next)
    {
        slow = slow->next;
        fast = fast->next->next;
        if (slow == fast)
        {
            return true;
        }  
    }
    return false;
}

我们只要再写一个函数用于拆分数字的每一位，并平方再相加。然后像环形链表的双指针方法一样，只不多每走一步，相当于调用一个函数。当这两个数字相等时，就是循环的第一个数字，再判断是否为0。

    int bitsum(int n)
    {
        int sum = 0, tmp;
        while(n > 0)
        {
            tmp = n % 10;
            sum += (tmp * tmp);
            n /= 10;
        }

        return sum;
    }


    bool isHappy(int n) 
    {
        int slow = n, fast = bitsum(n);
        while(slow != fast)
        {
            slow = bitsum(slow);
            fast = bitsum(bitsum(fast));
        }

        return slow == 1;
    }

（3）证明

这道题的题目给出提示，按照寻找快乐数的方法持续下去，一定会成一个循环。我们可以证明这个过程。

数字n范围在 $1$ $\leq n\leq$ $2^{31} - 1$ 之中。最大的数是2147483647，是个十位数字，我们取一个9999999999，把每一位的平方相加，等于810。
也就是说，在这个范围内随便给出一个数字，然后取每一位数，平方再相加，不会超过810。我们假设一个数字恰巧经过810次操作，都没有成一个循环，那么在第811次操作下，必然出现一个数和前面的数重复，组成循环。况且 $2^{31} - 1$ 没有比9999999999小，进行操作后都达不到810这个数字，必然在810次操作内形成一个循环。