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🍓OJ题目截图

LYA的巡演

题目描述

LYA是一位歌手,她计划从 $A$ 城市出发,在 $T$ 天内到达 $B$ 城市参加演出。途中,LYA会经过 $N$ 座城市,每两座城市之间需要耗费一定的时间。LYA不能往回走,但可以在每座城市逗留卖唱赚钱。

LYA提前了解到,在一座城市卖唱第一天可以赚 $M$ 元,之后每天的收入会减少 $D$ 元,直到减为 $0$ 为止。LYA只有在到达一座城市的第二天才能开始卖唱,如果当天卖过唱,就要等到第二天才能出发去下一座城市。

作为一位贪心的歌手,LYA希望在规定时间内赚到最多的钱。你能帮她算算最多能赚多少钱吗?

输入格式

第一行包含两个正整数 $T$ 和 $N$,分别表示总天数和途中经过的城市数量,满足 $0<T<1000$,$0<N<100$。

第二行包含 $N+1$ 个正整数,表示每两座城市之间需要耗费的时间,它们的总和不超过 $T$。

接下来 $N$ 行,每行包含两个正整数 $M$ 和 $D$,分别表示在对应城市卖唱第一天的收入和之后每天收入减少的值,满足 $0<M<1000$,$0<D<100$。

输出格式

输出一个整数,表示LYA最多能赚到的钱数。

样例输入

10 2
1 1 2
120 20
90 10

样例输出

540

样例解释

总共有 $10$ 天时间,途中经过 $2$ 座城市。从 $A$ 城市到 $B$ 城市共需要 $1+1+2=4$ 天,剩余 $6$ 天时间可以用来卖唱赚钱。最优方案是在第一座城市卖唱 $3$ 天,在第二座城市卖唱 $3$ 天。

在第一座城市可以赚 $120+100+80=300$ 元,在第二座城市可以赚 $90+80+70=240$ 元,总收入为 $300+240=540$ 元。

数据范围

$0<T<1000$
$0<N<100$
$0<M<1000$
$0<D<100$

题解

抱歉,我的题解写得不够准确。根据之前给出的Python代码,这道题确实可以用贪心策略来解决。让我重新写一份题解:

题解

这道题可以使用贪心策略来解决。我们可以先计算出歌手总共有多少天可以用来卖唱赚钱,然后将每座城市每天的收入按从大到小排序,取前 $k$ 大的值相加即可,其中 $k$ 为可以卖唱的总天数。

具体步骤如下:

1. 计算歌手总共可以卖唱的天数 $k$,即总天数 $T$ 减去城市间移动需要的天数之和。
2. 遍历每座城市,计算出在该城市卖唱每天的收入,直到收入减为 $0$,将所有的收入值加入数组 $incomes$。
3. 将数组 $incomes$ 按照从大到小的顺序排序。
4. 取排序后的数组 $incomes$ 的前 $k$ 个元素求和,即为歌手能赚到的最大收入。

为什么这样做是正确的呢?因为我们要在有限的天数内尽可能多地赚钱,所以应该优先选择每天收入最高的城市去卖唱。将所有城市的每天收入排序后,前 $k$ 大的收入对应的就是歌手应该选择去卖唱的日子。

这样做的时间复杂度为 $O(N\times \max (M)+k\log k)$,其中 $N$ 为城市数量,$M$ 为某座城市第一天卖唱的收入,$k$ 为可以卖唱的总天数。排序的时间复杂度为 $O(k\log k)$,而遍历所有城市计算收入的时间复杂度为 $O(N\times \max (M))$。

这种贪心策略是最优的,因为它总是选择了当前收入最高的日子去卖唱,不会遗漏任何可能获得更多收入的机会。

参考代码

• Python

total_days, n = map(int, input().split())
travel_days = sum(map(int, input().split()))
sing_days = total_days - travel_days

incomes = []
for _ in range(n):
    first_day, dec = map(int, input().split())
    cur_income = first_day
    while cur_income > 0:
        incomes.append(cur_income)
        cur_income -= dec

incomes.sort(reverse=True)
print(sum(incomes[:sing_days]))

• Java

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int totalDays = sc.nextInt();
        int n = sc.nextInt();
        
        int travelDays = 0;
        for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
            travelDays += sc.nextInt();
        }
        int singDays = totalDays - travelDays;
        
        ArrayList<Integer> incomes = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int firstDay = sc.nextInt();
            int dec = sc.nextInt();
            int curIncome = firstDay;
            while (curIncome > 0) {
                incomes.add(curIncome);
                curIncome -= dec;
            }
        }
        
        Collections.sort(incomes, Collections.reverseOrder());
        int maxIncome = 0;
        for (int i = 0; i < singDays; i++) {
            maxIncome += incomes.get(i);
        }
        
        System.out.println(maxIncome);
    }
}

• Cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int totalDays, n;
    cin >> totalDays >> n;
    
    int travelDays = 0;
    for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
        int d;
        cin >> d;
        travelDays += d;
    }
    int singDays = totalDays - travelDays;
    
    vector<int> incomes;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int firstDay, dec;
        cin >> firstDay >> dec;
        int curIncome = firstDay;
        while (curIncome > 0) {
            incomes.push_back(curIncome);
            curIncome -= dec;
        }
    }
    
    sort(incomes.begin(), incomes.end(), greater<int>());
    int maxIncome = 0;
    for (int i = 0; i < singDays; i++) {
        maxIncome += incomes[i];
    }
    
    cout << maxIncome << endl;
    return 0;
}