模式分解这边主要包括无损分解和保持函数依赖的分解两种形式，简单整理一下。

无损分解

  把一个 $R$ 分成 ρ = { R 1 , R 2 , ⋯   , R k } \rho =\{R_1,R_2,\cdots,R_k\} ρ={R1​,R2​,⋯,Rk​}，然后通过自然连接 $R_1\bowtie R_2\bowtie \cdots \bowtie R_k$，如果连回来了就是无损分解，如果多出了一些冗余元组就是有损分解。

这个定义很难直接用来判定，下面介绍一个判定算法。

判定算法

术语描述

   ρ = { R 1 < U 1 , F 1 > , ⋯   , R k < U k , F k > } \rho = \{R_1<U_1,F_1>,\cdots,R_k<U_k,F_k>\} ρ={R1​<U1​,F1​>,⋯,Rk​<Uk​,Fk​>} 是 $R<U,F>$ 的一个分解， U = { A 1 , ⋯   , A n } U=\{A_1,\cdots,A_n\} U={A1​,⋯,An​}， F = { F D 1 , ⋯   , F D ρ } F=\{\mathrm{FD_1,\cdots,FD}_\rho\} F={FD1​,⋯,FDρ​}（必须是极小依赖集），其中 ${\mathrm{FD}}_i:=X_i\to A_{li}$。算法的过程：
$(1)$ 建立 $k\times n$ 表 $\mathbf{C}=[c_{ij}{]}_{k\times n}$，每列对应属性 $A_j(j=1,\cdots ,n)$，每行对应一个分解的 $U_i$。$c_{ij}=\{\begin{array}{ll}{a}_j,& A_j\in U_i,\\ b_{ij},& A_j\notin U_i\end{array}$。
$(2)$ 遍历 ${\mathrm{FD}}_i$，截取 $\mathbf{C}$ 中对应 $X_i$ 的列，看看哪些行的内容是相同的。这些行在 $li$ 列若存在一个 $a_{li}$，那么这些行在 $li$ 列的值全部改为 $a_{li}$；否则全部改为 $b_{mli}$，其中 $m$ 为这些行的行号最小值。

一个符号被更改，表中其它所有相同的符号都应作相同的更改。

$(3)$ 重复 $(2)$ 的操作，如果有一行全 $a$ 说明 $\rho$ 是无损连接分解，停止算法；否则表 $\mathbf{C}$ 总会在某个时刻不再更新，停止算法并下结论 $\rho$ 是有损连接分解。

案例描述（直接上图）

设有关系模式 $R(A,B,C,D,E)$，$R$ 的最小函数依赖集是 $F=A\to D,E\to D,D\to B,BC\to D,DC\to A$。判断 ρ = { A B , A E , E C , D B C , A C   } \mathit{ρ=\{AB,AE,EC,DBC,AC\ \}} ρ={AB,AE,EC,DBC,AC } 是否为无损连接分解。

判定定理（分解为 2 个关系）

  定理描述：对于 $R<U,F>$ 的一个分解 ρ = { R 1 < U 1 , F 1 > , R 2 < U 2 , F 2 > } \rho = \{R_1<U_1,F_1>,R_2<U_2,F_2>\} ρ={R1​<U1​,F1​>,R2​<U2​,F2​>}，如果 $U_1\cap U_2\to U_1-U_2\in F^{+}$ 或 $U_1\cap U_2\to U_2-U_1\in F^{+}$，则 $\rho$ 具有无损连接性。
  这个定理可以从上面的算法得出，具体证明看下图就知道了。

保持函数依赖的分解

  把一个 $R$ 分成 ρ = { R 1 , R 2 , ⋯   , R k } \rho =\{R_1,R_2,\cdots,R_k\} ρ={R1​,R2​,⋯,Rk​}，然后看看是否有 $F_1^{+}\cup F_2^{+}\cup \cdots \cup F_k^{+}=F^{+}$，如果相等就是保持函数依赖的分解，否则不是。

这个定义可以直接用来判定。

模式分解算法

保持函数依赖的 3NF 分解

描述

$(1)$ 对 $R<U,F>$中的 $F$进行极小化处理。处理后的函数依赖集仍用 $F$ 表示。
$(2)$ 找出不在 $F$ 中出现的属性，把这样的属性构成一个关系模式，并把这些属性从 $U$ 中去掉。
$(3)$ 如果 $F$ 中有一个函数依赖涉及 $R$ 的全部属性，则 $R$ 不能再分解。
$(4)$ 如果F中含有 $X\to A$，则分解应包含模式 $XA$，如果 $X\to A_1,X\to A_2,\cdots ,X\to A_n$ 均属于 $F$，则分解应包含模式 ${XA}_1{A}_2\cdots A_n$。

例子

  设关系模式 $R<U,F>$， U = { C , T , H , R , S , G , X , Y , Z } U=\{C,T,H,R,S,G,X,Y, Z\} U={C,T,H,R,S,G,X,Y,Z}， F = { C → T , C S → G , H R → C , H S → R , T H → R , C → X } F=\mathit{\{C→T,CS→G,HR→C,HS→R,TH→R,C→X\}} F={C→T,CS→G,HR→C,HS→R,TH→R,C→X}，将 $R$ 分解为 $3NF$，且保持函数依赖。

解：设该函数依赖集已经是最小化的，先对 $F$ 中左边相同的进行合并 $(C\to T+C\to X=C\to TX)$ 得 F = { C → T X , C S → G , H R → C , H S → R , T H → R } F=\mathit{\{C→TX,CS→G,HR→C,HS→R,TH→R\}} F={C→TX,CS→G,HR→C,HS→R,TH→R}。
因此 ρ = { Y Z , C T X , C S G , H R C , H S R , T H R } \mathit{\rho=\{YZ,CTX,CSG,HRC,HSR,THR\}} ρ={YZ,CTX,CSG,HRC,HSR,THR}。

$YZ$ 是 $F$ 中没有出现的属性，单独拿出来。

保持函数依赖的无损 3NF 分解

  在保持函数依赖的 3NF 分解基础上，尝试在 $\rho$ 中加入 $R$ 所有的码得 $\tau$。加入后可能会存在包含关系，保大去小。举个例子说明。
  有关系模式$R<U,F>$， U = { C , T , H , R , S , G } U=\{C,T,H,R,S,G\} U={C,T,H,R,S,G}， F = { C → T , C S → G , H R → C , H S → R , T H → R } \mathit{F=\{C→T,CS→G, HR→C,HS→R,TH→R\}} F={C→T,CS→G,HR→C,HS→R,TH→R}，将 $R$ 分解为 $3NF$，且既具有无损连接性又能保持函数依赖。

解：求得关系模式 $R$ 的码为 $HS$，它的一个保持函数依赖的 $3NF$为： ρ = { C T , C S G , H R C , H S R , T H R } \mathit{\rho=\{CT,CSG,HRC,HSR,THR\}} ρ={CT,CSG,HRC,HSR,THR}。
因为码 $HS\subset HSR$，所以去掉 $HS$，保留 $HSR$。所以 τ = ρ = { C T , C S G , H R C , H S R , T H R } \mathit{\tau=\rho=\{CT,CSG,HRC,HSR,THR\}} τ=ρ={CT,CSG,HRC,HSR,THR}为满足要求的分解。